Wiki. Dold–Kan 对应 [Dold–Kan对应]

观念

Dold–Kan 对应是某些链复形与单纯 Abel 群之间的等价.

陈述

1-范畴版本

Abel 单纯群等价于连合的 Abel 群链复形: $$ N \colon \mathsf {sAb} \rightleftarrows \mathsf {Ch}^+(\mathsf {Ab})\colon \Gamma, $$ 其中 $N$ 为 Moore 复形.

∞–范畴版本

设 $\mathcal C$ 为稳定无穷范畴, 则有等价 $$ \mathsf {Fun}(\mathbb{Z}_{\geq 0},\mathcal C) \simeq\mathsf {Fun}(\Delta^{\text{op}},\mathcal C). $$ 这个等价与同伦范畴的 Dold–Kan 对应 $\mathsf {Ch}(h\mathcal C)_{\geq 0}\simeq \mathsf {Fun}(\Delta^{\text{op}},h\mathcal C)$ 相容.

借助 Dold–Kan 对应, 可由单纯对象构造谱序列.