讲义. 综合微分几何 (0) 光滑无穷小分析的模型 [SDG-0-SIAM]

本讲参考 Ieke Moerdijk, Gonzalo E. Rayes, Models for Smooth Infinitesimal Analysis.

Riemann 的哲学与流形的缺陷

现代几何学公认的起源是 Riemann 1854 年的演讲 “几何学的基本假设”. 在这次演讲中, Riemann 的目标是在哲学层面上阐述 “多向延展量” (mehrfach ausgedehnter Grössen), 也即构造作为几何对象的 “多样体” (Mannigfaltigkeiten).

现代的人们通常认为 Riemann 的目标是今天所谓的流形 (manifold), 但实际上 Riemann 考虑的对象更广. 他讲道,

然而有些多样体中, 确定一个点的位置所需的不是有限个数, 而是一列无限多个数, 甚至是一个连续的流形那么多个数. 这种多样体的例子如一个区域上的所有可能的函数, 或一个物体的所有可能形状等等. (Bernhard Riemann, Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen)

现代的流形概念在几何与物理上常常表现出缺陷.

  • 流形范畴不是 Descartes 闭的. 流形之间的映射空间常常不是流形, 这正是 Riemann 所描述的情况, 而物理上常常需要研究映射空间;
  • 流形范畴缺少有限极限. 特别地, 流形映射的拉回常常不是流形. 例如有奇点的代数曲线不是流形, 这导致微分几何与代数几何走上了不同的道路, 其使用的方法不能互通.
  • 流形中缺少一种方便直接的方式处理无穷小的结构. 人们通常只能通过积分将无穷小结构转化为局部结构来处理, 然后再通过极限过程回到无穷小. 这实在是不必要的麻烦.

从 Berkeley 大主教对微积分的批判开始, 无穷小似乎被逐出了数学的大雅之堂. 尽管如此, 它仍被许多几何学家用作思维的工具, 其中最著名的是 Sophus Lie 和 Elie Cartan; 虽然缺乏合适的语言, 他们的工作已经体现出综合微分几何的思想. Sophus Lie 对他建立的 Lie 理论评论道,

我最初是通过综合的考虑建立这些理论的. 但我很快意识到, 综合方法固然有助于发现问题, 但它很难对几乎只通过解析方法进行探究的对象进行清晰的叙述. 在长时间的犹豫之后, 我决定采用半综合半解析的形式. 我希望我的工作可以为综合方法带来正当的理论地位, 并与解析方法同等重要. (Sophus Lie, Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, Math. Ann. 9 (1876).)

而 Elie Cartan 则用无穷小平行四边形来解释外微分的运算. 这种解释在物理学家和工程师群体中十分流行.

(给熟悉非标准分析的读者: 事实上有两种不同的无穷小, 一种是可逆的无穷小, 一种是幂零的无穷小. 非标准分析处理了可逆的无穷小, 而 Grothendieck 在代数几何中使用了幂零的无穷小. 综合微分几何表达切向量, 微分形式, 联络等概念使用的是与 Grothendieck 类似的幂零的无穷小.)

光滑无穷小分析简介

分析学与微分几何一条新的道路, “光滑无穷小分析” (smooth infinitesimal analysis), 同时克服了上面的三个缺陷. 它的基础是光滑意象 (smooth topos). 光滑意象的构造证明了综合微分几何公理化方法的相容性, 而且提供了与传统流形理论的直接联系.

代数几何中, 概形是仿射概形范畴上的层, 而仿射概形范畴是环范畴的形式对偶. 如果我们将环范畴改为光滑环范畴, 用同样的过程就会得到微分几何的模型.

光滑环

光滑环又称 $C^\infty$-代数, 是流形上光滑函数环的推广. 设想这样一种空间 $X$, 我们对这个空间仅有的了解, 就是其上的光滑函数, 即 $X$ 到 $\mathbb{R}$ 的 “光滑” 映射 (这个光滑性尚未定义, 或者说这个结构本身就是它的定义). 这种光滑性应当满足如下的条件.

  • $X$ 上的光滑函数构成一个 $\mathbb{R}$-代数;
  • 对 $X$ 上的任意 $n$ 个光滑函数 $f_1,\cdots,f_n$ (也即 $X$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的光滑映射), 以及任意光滑映射 $F \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, 存在合理的 “复合” 映射 $F(f_1,\cdots,f_n)$, 它是 $X$ 上的 $m$ 个光滑函数, 也即 $X$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的光滑映射, 并且这样的 “复合” 有合理的结合律.

这解释了如下的定义.

定义. 光滑环是这样一个环 $A$: 对任意光滑映射 $F \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, 有一个环同态 $A(F) \colon A^n \to A^m$, 使得 $A(\pi_i) = \pi_i$ ($\pi_i$ 为投影映射), $A(\operatorname{id})=\operatorname{id}$, $A(F \circ G) = A(F) \circ A(G)$.

光滑环的另一种理解是一个不仅允许多项式运算 (加法, 乘法等等), 而且允许任意光滑运算 (如 exp, arctan) 的代数结构.

我们采用 nLab 的记号, 用 $\mathsf{CartSp}$ 表示光滑流形范畴中由 $\mathbb{R}^n\,(n=0,1,2,\cdots)$ 构成的满子范畴. 那么光滑环可等价地定义为 $\mathsf {CartSp}$ 上保持乘积的余预层 (co-presheaf), 也即保持乘积的函子 $\mathsf {CartSp} \to \mathsf {Set}$. 由此可见, 光滑环的形式对偶即是 $\mathsf {CartSp}$ 上的某些预层 (presheaf).

这个范畴 $\mathsf {CartSp}$ 又称为光滑代数的 Lawvere 理论的句法范畴 (syntactic category, 见 nLab.) 这是因为光滑环也可视作一种 Lawvere 理论, 见 nLab.

光滑环 $A \colon \mathsf {CartSp} \to \mathsf {Set}$ 的底层集合 (underlying set) 是指 $A(\mathbb{R})$, 也即环 $A$ 的底层集合.

练习. 描述光滑环的同态.

使用函子的语言, 光滑环的同态不过是一个自然变换.

下面来看几个例子.

例. 如下三个环是光滑环.

  1. $\mathbb{R}[x]/(x^2)$ 是光滑环.
  2. 形式幂级数环 $\mathbb{R}[[x]]$ 是光滑环.
  3. 一点 $0\in\mathbb{R}$ 处的光滑函数芽构成的环是光滑环.

事实上, 上述三个例子都是光滑函数环的商环:

  1. $\mathbb{R}[x]/(x^2)$ 同构于 $C^\infty (\mathbb{R})/(x^2)$, 也即 $C^\infty (\mathbb{R})$ 商掉 $0$ 处零至二阶导数为 $0$ 的函数,
  2. $\mathbb{R}[[x]]$ 同构于 $C^\infty (\mathbb{R})$ 商掉 $0$ 处各阶导数都为 $0$ 的函数 (这是因为 Taylor 展开),
  3. $0$ 处光滑函数芽构成的环同构于 $C^\infty (\mathbb{R})$ 商掉那些在 $0$ 的一个邻域内恒为 $0$ 的函数. (这是因为, 每个函数芽都可延拓为整个 $\mathbb{R}$ 上的光滑函数)

这三个环依次对应越来越小的理想, 在几何上对应越来越大的 “无穷小邻域”. 高维的情形是完全类似的.

命题. 设 $A$ 为光滑环, $I\subset A$ 为 (普通意义下的) 理想, 那么投影 $A \to A/I$ 诱导了 $A/I$ 上的光滑环结构, 使得投影为光滑环同态.

证明. 为了证明光滑运算的良定性, 我们需要说明当 $a_i \equiv b_i \mod I\,(1\leq i \leq n)$ 时有 $A(F)(a_1,\cdots,a_n)\equiv A(F)(b_1,\cdots,b_n)\mod I$.

例. 对任意子集 $X \subset \mathbb{R}^n$ (是真的集合论意义下的子集), 我们可定义一个光滑环 $C^\infty (X)$, 其元素是 $X$ 到 $\mathbb{R}$ 的光滑映射: 光滑是指可以延拓为开集上的光滑函数.

下面列举光滑环范畴许多好的性质.

命题. 光滑环范畴的极限和余极限等同于底层集合的极限和余极限.

命题. 设 $M$ 是流形, 那么 $C^\infty (M)$ 是有限表现 (finitely presented) 的, 也即形如 $C^\infty (\mathbb{R}^n)/I$, 其中 $I$ 为有限生成理想.

定理. 流形范畴到光滑环范畴的反变函子 $M \mapsto C^\infty (M)$ 是全忠实的, 且将横截相交的拉回变为推出.

处所

我们来到光滑环几何的一面.

定义 (处所). 定义处所 (locus, loci) 的范畴 $\mathbb L$ 为有限生成光滑环范畴的对偶范畴. 记光滑环 $A$ 对应的处所为 $\ell A$.

定义. 令 $R = \ell C^\infty (\mathbb{R})$, $D = \ell \big(C^\infty (\mathbb{R}) / (x^2)\big)$.

这两个对象是综合微分几何的开端.

上面关于流形范畴嵌入的命题可翻译为如下更加直观的命题.

命题. 流形范畴到处所范畴的函子 $M \mapsto \ell C^\infty (M)$ 是全忠实的, 且保持横截相交的拉回.

使用简单的微分几何, 我们可以证明如下命题.

命题. 设 $M$ 为流形, 则 $$ \big(\ell C^\infty (M)\big)^D \simeq \ell C^\infty (TM). $$

这说明 $D$ 到 $M$ 的映射表示了 $M$ 的切向量!

延伸阅读

有一个 MathOverflow 问题探讨了综合微分几何的模型与传统微分几何的关系.

关于这本书的 nLab 页面包含一些有用的信息.