讲义. 综合微分几何 (2) 序结构与积分 [SDG-2-int]
讲义. 综合微分几何 (2) 序结构与积分 [SDG-2-int]
为了叙述积分我们最好使用区间的概念, 而这需要直线上的序结构.
公理 (序关系). $R$ 上存在预序关系 (preorder) $\leq$ 满足如下性质.
- 传递性: 若 $x\leq y$, $y\leq z$, 则 $x\leq z$;
- 自反性: $x\leq x$;
- 与环结构相容:
- 若 $x\leq y$, 则 $x+z \leq y+z$;
- 若 $x\leq y$, $0\leq t$, 则 $x\cdot t \leq y\cdot t$;
- $0\leq 1$ 且非 $1 \leq 0$;
- 对于 $R$ 的幂零元 $d$, 有 $0\leq d$ 且 $d\leq 0$.
注意我们不假设 $x\leq y$ 与 $y\leq x$ 能够推出 $x=y$. 这是由于公理的最后一条. 另外, 由于缺少排中律, 我们需要额外假设 $1\leq 0$ 不成立.
定义. $R$ 上的区间 $[a,b]$ 定义为 $$ [a,b] = \{ x\in R \colon a\leq x \leq b\}. $$
容易看到对于 $x\in [a,b]$ 以及幂零元 $d$ 有 $x+d \in [a,b]$. 因此, 对于区间 $[a,b]$ 上定义的函数, 其导数也可在 $[a,b]$ 上定义.
公理. (积分) 对任意映射 $f \colon [0,1] \to R$, 存在唯一的映射 $g \colon [0,1] \to R$ 满足 $g(0) = 0$, 且 $g' = f$. 对 $x\in [0,1]$, 定义 $\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt := g(x)$.
由上述公理中的唯一性立刻得到如下命题.
命题. 若 $g_1,g_2\colon [0,1] \to R$ 满足 $g_1'=g_2'$, $g_1(0)=g_2(0)$, 则 $g_1=g_2$.
定理 (“积分号下求导”). 设 $f\colon [0,1] \times R \to R$. 定义 $$ g(s) = \int_0^1 f(t,s)\,dt, $$ 那么 $$ g'(s) = \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial s}(t,s)\,dt. $$
证明. 对任意 $d\in D$, $$ \begin{aligned} g(s+d) &= \int_0^1 f(t,s+d)\,dt\\ &= \int_0^1 \Big(f(t,s) + d\cdot \frac{\partial f}{\partial s}(t,s)\Big)\,dt\\ &=g(s) + d\cdot\int_0^1\frac{\partial f}{\partial s}(t,s)\,dt. \end{aligned} $$
积分的公理是对区间 $[0,1]$ 叙述的; 由一个线性的坐标变换, 不难定义任何区间 $[a,b]$ 上的积分: $$ \int_a^b f(t)\,dt = (b-a) \int_0^1 f(a+t(b-a))\,dt. $$
命题 (Newton–Leibniz 公式). $$ \int_a^b f' = f(b) - f(a). $$
命题. 设 $\varphi \colon [a,b] \to [c,d]$, 满足 $\varphi(a) = c, \varphi(b) = d$. 设 $f \colon [c,d] \to R$, 那么 $$ \int_c^d f(s)\,ds = \int_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\,dt. $$
证明. 留作习题.
命题 (“无穷小积分中值公式”). 对任意 $d\in D$, $$ \int_a^{a+d} f = d\cdot f(a). $$
下面讨论多元积分.
命题 (Fubini 公式). 设 $f \colon [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to R$. 那么 $$ \int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2}f(t,s)\,dsdt = \int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1}f(t,s)\,dtds. $$
证明. 定义 $$ g(x) = \int_{a_1}^{x}\int_{a_2}^{b_2}f(t,s)\,dsdt, $$ $$ h(x) = \int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{x}f(t,s)\,dtds, $$ 那么 $g(a_1) = h(a_1) = 0$, $$ g'(x) = h'(x) = \int_{a_2}^{b_2}f(x,s)\,ds, $$ 故 $g =h$.
下面是一个在数学分析中很简单, 而在当前语境下不那么简单的命题.
命题. 设 $f \colon R \to R$, 满足 $xf(x) = 0\,\forall x\in R$. 那么 $f(x) = 0\,\forall x\in R$.
证明. 留作习题. 答案见下文.