讲义. 综合微分几何 (3) 流形与微线性对象 [SDG-3-man]

我们从切向量谈起.

定义 (切向量, 切空间, 微分). 空间 $M$ 在 $x$ 处的切向量是一个映射 $t \colon D \to M$, 使得 $t(0) = x$. 记 $TM = M^D$ 为 $M$ 的切丛, 其中 $M^D$ 是 $D$ 到 $M$ 映射的空间; 记 $T_xM$ 为 $x$ 处切向量构成的空间. 对于映射 $f \colon M \to N$ 与 $x\in M$, 定义 $f$ 在 $x$ 处的微分 $d_x f \colon T_xM \to T_{f(x)}N$ 将切向量 $t$ 映射到 $f\circ t$.

切向量的这种定义是非常符合直观的. 它与传统微分几何中考虑的曲线的等价类, 即 “$1$-射流 (jet)”, 是一回事.

不同的是, $D$ 让原本抽象的 $1$-射流成为了一个实在的映射, 也就是让射流函子成为了可表函子 (representable functor), 这个事实有深刻的影响.

例如, 空间 $M$ 上的切向量场可定义为 “切丛的截面” $\sigma \colon M \to TM = M^D$, 满足 $\sigma(x)(0) = x\,\forall x\in M$; 这也等价于映射 $\sigma \colon M \times D \to M$, 满足 $\sigma(x,0) = x\,\forall x \in M$; 这进一步等价于映射 $\sigma \colon D \to M^M$, 满足 $\sigma(0) = \operatorname{id}_M$. 我们立刻看到 $M$ 的切向量场就是 $M^M$ 的切向量.

定义了切向量与切空间, 我们不禁要问切向量如何相加, 也即切空间如何构成线性空间 (这里所说的线性空间都是指 $R$-模). 答案是, 不是每个空间上的切向量都可以相加, 我们需要额外的性质.

传统微分几何中, 流形上切向量的加法是通过局部坐标来定义的; 本质上, 这要求流形在一个微小的局部长得像一个线性空间. 在综合微分几何中不是每个空间都有这样的性质, 因此我们需要如下的概念, 作为 “流形” 的类比.

首先回忆 $D(n) \subset D^n \subset R^n$ 是原点的一阶无穷小邻域. 记 $\iota_i \colon D \to D(n)$ 为第 $i$ 分量的嵌入 $d\mapsto (0,\cdots,d,\cdots,0)$. 另外, 我们将用到对角映射 $$ \Delta \colon D \to D(n), d \mapsto (d,\cdots,d). $$

定义 (微线性). 空间 $M$ 称为微线性 (microlinear) 或无穷小线性 (infinitesimally linear) 的, 是指对任意正整数 $n$ 和任意点 $x$ 处的 $n$ 个切向量 $t_1,\cdots,t_n \colon D \to M$, 都存在唯一的映射 $l$, 记作 $l_{t_1,\cdots,t_n} \colon D(n) \to M$, 使得 $$ l_{t_1,\cdots,t_n} \circ \iota_i = t_i. $$ 直观上, $n$ 个切向量能够 “张成” 一个 $n$ 维的无穷小空间, 这体现了 $M$ 的微小局部的线性.

使用范畴语言, 微线性的条件可表述为 $M^{D(n)}$ 同构于 $n$-重拉回 $$ M^{D(n)} \simeq M^D \times_M \cdots \times_M M^D. $$

微线性的定义中 “对任意” 是意象的内语言. 它真正的 (使用外部语言的) 定义是上面的范畴论等式. 这个性质还可以作进一步的抽象, 与所谓拟余极限 (quasi-colimit) 有关.

定义 (切向量的加法). 设 $M$ 是微线性对象, $t_1,t_2 \colon D \to M$ 是 $x$ 处的切向量. 定义 $t_1+t_2$ 为如下的复合: $$ t_1+t_2 \colon D \overset{\Delta}{\longrightarrow} D(2) \overset{l_{t_1,t_2}}{\longrightarrow} M. $$

命题. 若 $M$ 是微线性对象, 则 $T_xM$ 是线性空间 ($R$-模).

证明. 首先, $T_xM$ 的零元是常值映射, 记作 $0 \colon D\to M, d\mapsto x$. 那么由 $l_{t_1,0}$ 的唯一性, $$ l_{t_1,0}(d_1,d_2) = t_1(d_1). $$ 所以 $$ (t_1+0)(d) = l_{t_1,0}(d,d) = t_1(d), $$ 这说明了 $t_1+0=t_1$.

下面验证结合律. 设 $t_1,t_2,t_3$ 是 $x$ 处的三个切向量.

注意到, 由 $l_{t_1,t_2}$ 的唯一性, $$ l_{t_1,t_2,t_3}(d_1,d_2,0) = l_{t_1,t_2}(d_1,d_2). $$ 接着, 因为 $$ l_{t_1+t_2,t_3}(d,0)=(t_1+t_2)(d)=l_{t_1,t_2}(d,d) = l_{t_1,t_2,t_3}(d,d,0), $$ $$ l_{t_1+t_2,t_3}(0,d) = t_3(d) = l_{t_1,t_2,t_3}(0,0,d), $$ 所以由 $l_{t_1+t_2,t_3}$ 的唯一性, $$ l_{t_1+t_2,t_3}(d,d) = l_{t_1+t_2,t_3}(d,d,d), $$ $$ \begin{aligned} ((t_1+t_2)+t_3)(d) &= l_{t_1+t_2,t_3}(d,d)\\ &=l_{t_1,t_2,t_3}(d,d,d). \end{aligned} $$ 余下的证明读者可自己补全. $\square$

定义了微线性对象, 我们立刻多了许多事情要做: 哪些空间是微线性的? 从已有的微线性对象出发, 如何构造新的微线性对象?

没有什么比 $R$ 更基础的空间, 因此我们必须先证明

命题. $R$ 是微线性的.

证明. 设 $t_i \colon D \to R\,(1\leq i \leq n)$ 是 $a \in R$ 处的切向量. 由 K-L 公理, $$ t_i(d) = a + d\cdot b_i\,\forall d\in D. $$ 定义 $l \colon D(n) \to R$, $$ l(d_1,\cdots,d_n) = a + d\cdot\sum_i b_i, $$ 那么 $l \circ \iota_i = t_i$, 存在性得证. 唯一性是 $D(n)$ 的性质 W. $\square$

命题. 若 $M_1$, $M_2$ 是微线性的, 则 $M_1\times M_2$ 是微线性的; 而且对任意映射 $f,g\colon M_1\to M_2$, 等化子 (equalizer) $\{ m \in M_1\colon f(m) = g(m)\}$ 是微线性的. (熟悉范畴论的读者由此知道, 微线性对象的类在任意有限极限的操作下封闭!)

证明. 留作习题.

由此, 常见的流形, 即 $R^n$ 中以方程表示的子空间, 都被包含在微线性对象的类中. 不仅如此, 有些方程定义的 “不光滑” 的图形 (代数几何上我们称之为带有奇点的代数簇), 如两条相交的直线 $$ \{(x,y)\in R \colon xy=0\}, $$ 也属于微线性对象, 尽管它不是传统意义上的流形. 它在原点处的切空间是 $$ D(2) = \{(d_1,d_2)\in R^2 \colon d_1^2 = d_2^2 = d_1d_2 = 0\}. $$

更不寻常的是, 微线性对象甚至对指数对象, 也即 “映射空间” 的操作封闭.

命题. 若 $M$ 是微线性的, 则对任意空间 $X$, 映射空间 $M^X$ 也是微线性的.

证明. 任给映射 $t \colon D \to M^X$, 我们可将其视为映射 $X \to M^D$. (换言之, $M^X$ 的切向量可视为 $M$ 上以 $X$ “参数化” 的一族切向量!) 由拉回 $$ M^{D(n)} \simeq M^D \times_M \cdots \times_M M^D. $$ 的泛性质我们便得到映射 $X \to M^{D(n)}$, 也即 $D(n) \to M^X$, 满足所需的条件. $\square$

我们看到, 微线性对象的类一视同仁地包括了许多 “无穷维” 的空间.

我们尚未证明切空间的函子性, 也即切映射是线性映射.

命题. 设 $M,N$ 是微线性对象, 证明对任意映射 $f \colon M \to N$ 与 $x\in M$, 映射 $$ d_xf \colon T_xM \to T_{f(x)}N $$ 是线性映射.

证明. 留作习题, 答案见后文.

上节习题答案

命题. 设 $f \colon R \to R$, 满足 $xf(x) = 0\,\forall x\in R$. 那么 $f(x) = 0\,\forall x\in R$.

证明. 对 $xf(x) = 0$ 求导得 $$ f(x) + xf'(x) = 0\,\forall x\in R. $$ 现在考虑 $g(x,y) = xf(xy)$. 因为 $g(0,y)= 0$, 且 $$ \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = f(xy)+xyf'(xy) = 0, $$ 我们得到 $g(1,y)=0$, 也即 $f(y) = 0$.