讲义. 综合微分几何 (4.5) Weil 代数与形式平展性 [SDG-4-Weil]
讲义. 综合微分几何 (4.5) Weil 代数与形式平展性 [SDG-4-Weil]
谱
在数学上, 一个代数的谱是一个与之对应的几何对象. 代数与谱的对应是反变的. 下面的定义来自综合代数几何.
定义. $R$-代数 $A$ 的谱 $\operatorname{spec}_R A$ (或简记为 $\operatorname{spec}A$) 是 $A$ 到 $R$ 的所有 $R$-代数同态的 “集合”.
注. $\operatorname{spec}R$ 是一个点. $\operatorname{spec}A$ 的一个点是 $\operatorname{spec}R$ 到 $\operatorname{spec}A$ 的映射, 也即 $A$ 到 $R$ 的代数同态.
例. 设 $A$ 是有限表现 $R$-代数, 也即 $A$ 同构于某个有限元多项式环商掉一个有限生成理想得到的环: $$ A \simeq R[x_1,\cdots,x_n]/(f_1,\cdots,f_m). $$ 那么 $\operatorname{spec}A$ 是 $R^n$ 中由方程 $f_1= \cdots =f_m=0$ 确定的子 “集”: $$ \operatorname{spec}A = \{(x_1,\cdots,x_n)\in R^n \colon f_1=\cdots=f_m=0\}. $$
Weil 代数与 K–L 公理
定义. Weil 代数, 又称局部 Artin 代数, 是指形如 $$ W = R \oplus N $$ 的有限维 $R$-代数, 其中投影 $\pi_1\colon W \to R$ 为代数同态, 且 $N = \ker\pi_1$ 的元素都是幂零元.
称 $N$ 为 Weil 代数 $W$ 的增广理想 (ideal of augmentation).
在几何上, 投影 $\pi_1 \colon W \to R$ 对应着一个点 $\operatorname{spec}R$ 到 $\operatorname{spec}W$ 的嵌入. 将 $W$ 的元素视为 $\operatorname{spec}W$ 上的函数, 那么 $\pi_1$ 即是函数在一点上取值. $\ker\pi_1$ 中的元素都是幂零元, 即在该点上取值为零的函数都是幂零的. 因此 $\operatorname{spec} W$ 是一个点的无穷小加厚 (infinitesimal thickening).
例. 我们遇到的第一个 Weil 代数是 $R[x]/(x^2) = R \oplus xR$. 它对应 $R$ 上原点的一阶无穷小邻域 $D$.
用 Weil 代数可以叙述完整的 Kock–Lawvere 公理. 它规定 $\operatorname{spec}W$ 上的函数正是 $W$ 的元素.
公理 (Kock–Lawvere). 对任意 Weil 代数 $W$, 映射 $$ \alpha \colon W \to R^{\operatorname{spec}W}, f\mapsto (x\mapsto f(x)) $$ 是一个 $R$-代数同构.
例. $W=R[x]/(x^2)$, $\operatorname{spec}W=D$, 映射 $\alpha\colon W \to R^D$ 将 $ax+b$ 对应到 $(d\mapsto a\cdot d+b)$.
例. $W = R[x,y]/(x^2,y^2)$, $\operatorname{spec}W=D\times D$, 映射 $\alpha\colon W \to R^{D\times D}$ 将 $a_{00} + a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy$ 对应到 $\big((d_1,d_2)\mapsto a_{00} + a_{10}d_1 +a_{01}d_2 + a_{11}d_1d_2\big)$.
平展性
有时我们想要在几何对象上选取 “局部坐标”.
定义. 对于一族态射 $\mathcal D$, 称映射 $f \colon M \to N$ 为 $\mathcal D$-平展 (étale) 的, 是指对 $\mathcal D$ 中的任意态射 $j \colon J \to K$, 只要有如下交换图, $$ \begin{array} {ccc} J & \overset {j} {\to} & K\\ \downarrow && \downarrow\\ M & \underset {f} {\to} & N \end{array} $$ 就存在唯一的态射 $l \colon K \to M$ 使下图交换. $$ \begin{array} {ccc} J & \overset {j} {\to} & K\\ \downarrow & \swarrow_l \! & \downarrow\\ M & \underset {f} {\to} & N \end{array} $$
注. 上述结论的 “范畴” (语义) 表述是, 下图是一个拉回.
$$ \begin{array} {ccc} M^K & \overset{M^j}{\to} & M^J\\ \hspace{-2em} f^K\downarrow && \downarrow f^J \hspace{-1em} \\ N^K & \underset{N^j}{\to} & N^J \end{array} $$
命题. $\mathcal D$-平展态射的乘积与复合仍是 $\mathcal D$-平展的.
取 $\mathcal D$ 为所有 $1 \to \operatorname{spec}W$ 的态射, $W$ 是 Weil 代数. 此时, $\mathcal D$-平展又称形式平展 (formal-étale).
例. 含入映射 $D_\infty \to R$ 是形式平展的, 即任意交换图 $$ \begin{array} {ccc} 1 & \to & \operatorname{spec}W\\ \downarrow && \downarrow\\ D_\infty & \to & R \end{array} $$ 存在分解 $\operatorname{spec}W \to D_\infty$.
传统微分几何中, 流形的局部模型是欧氏空间的开集. 作为类比, 我们有如下定义.
定义 (模型对象). 我们称形式平展单态射 $U \to R^n$ 的定义域 $U$ 为 $n$ 维模型对象 (model object).
定义 (形式流形). 称对象 $M$ 为 $n$ 维形式流形 (formal manifold), 是指存在联合满 (jointly epic) 的一系列形式平展单态射 $U_i \to M$, 且每个 $U_i$ 为 $n$ 维模型对象. 一族态射 $f_i \colon U_i \to M$ 联合满的定义是对任意两个态射 $g,h\colon M\to N$, 只要 $g\circ f_i = h\circ f_i\,\forall i$, 就有 $g=h$. 联合满态射的直观是覆盖.
命题. 形式流形是微线性的.