讲义. 综合微分几何 (4) 切向量场 [SDG-4-tan]
讲义. 综合微分几何 (4) 切向量场 [SDG-4-tan]
回忆上节我们定义了微线性对象, 也即流形的类比. 我们证明了微线性对象 $M$ 的切空间 $T_xM$ 是线性空间.
定义 (向量丛). 设 $E,M$ 为微线性对象, 映射 $\xi \colon E \to M$ 满足对任意 $x\in M$, $\xi_x = \xi^{-1}(x)$ 为线性空间, 则称 $\xi$ 为向量丛.
两个向量丛 $\xi_1,\xi_2$ 之间的态射是如下的交换图, $$ \begin{array} {ccc} E_1 & \overset{\varphi}{\rightarrow} & E_2 \\ \downarrow && \downarrow \\ M_1 & \underset{f}{\rightarrow} & M_2 \end{array} $$ 且 $\varphi_x \colon (\xi_1)_x \to (\xi_2)_x$ 为线性映射.
对向量丛 $\xi \colon E \to M$, 记 $\Gamma(\xi)$ 为其截面的集合. 所谓截面就是一个映射 $s \colon M \to E$, 满足 $\xi\circ s = \operatorname{id}_M$. (回忆, $E^M$ 和 $M^M$ 都是微线性对象, 所以 $\Gamma(\xi)$ 作为两个映射的等化子也是微线性对象.)
向量丛截面的和定义为逐点的和.
$M$ 上的函数可以乘法作用在向量场的截面上, 也即 $\Gamma(\xi)$ 具有 $R^M$-模结构. 对于 $f\in R^M$ 与 $s\in\Gamma(\xi)$, 有 $(f\cdot s)(x) = f(x)s(x)$.
我们提到过, $M$ 上的切向量场可理解为
- 切丛 $TM = M^D \to M$ 的截面;
- 映射 $X \colon M \times D \to M$, 满足 $X(x,0) = x\,\forall x \in M$;
- 映射 $X \colon D \to M^M$, 满足 $X(0) = \operatorname{id}_M$.
后两种看法体现了切向量场是无穷小的流. 下面的命题更加印证了这一直观:
命题. 设 $X \colon M\times D \to M$ 是 $M$ 的切向量场, 那么对任意 $(d_1,d_2)\in D(2)$, $$ X(x,d_1+d_2) = X(X(x,d_1),d_2), $$ 换言之, $X$ 作为映射 $D \to M^M$ 满足 $$ X(d_1+d_2) = X(d_2)\circ X(d_1). $$
证明. 当 $d_1=0$ 时 $X(x,0+d_2)=X(X(x,0),d_2)$, 而当 $d_2 = 0$ 时 $X(x,d_1+0) = X(X(x,d_1),0)$, 由定义, 等式成立. 注意到等式两边可视为 $D(2)$ 到 $M$ 的映射, 于是由 $M$ 的微线性性, 等式对任意 $(d_1,d_2)\in D(2)$ 成立. $\square$
推论. 对 $M$ 上的向量场 $X$ 与 $d\in D$, $X(d) \colon M \to M$ 是自同构 (即可逆映射), 其逆为 $X(-d)$.
记 $M$ 上切向量场的空间为 $\mathcal X(M)$. 正如微分几何的直观, 我们将证明 $\mathcal X(M)$ 同构于 $M$ 的自同构群的切空间. 首先我们定义 $M$ 的自同构群.
定义 (自同构群). 定义 $\operatorname{Aut}(M)$ 为 $M^M$ 中可逆元的集合. 由于有同构 $$ \operatorname{Aut}(M) \simeq \{(f,g) \in M^M\times M^M \colon g\circ f = f \circ g = \operatorname{id}_M\}, $$ 易见 $\operatorname{Aut}(M)$ 是微线性对象.
命题. $\mathcal X(M) \simeq T_{\operatorname{id}}\operatorname{Aut}(M)$.
证明. 由于前面的推论, 我们知道两者作为空间同构, 只需要证明两者的线性结构相容, 即证明 $M$ 的切向量场的加法与 $M^M$ 的切向量的加法是一回事. 对 $M^M$ 在 $\operatorname{id}$ 处的两个切向量 $X,Y \colon D \to M^M$, 取其唯一决定的映射 $l \colon D(2) \to M^M$. 那么 (作为 $M^M$ 的切向量) 两者之和为 $$ X + Y \colon D \overset\Delta\to D(2) \overset l \to M^M. $$ 对任意 $x\in M$, 记 $\operatorname{ev}_x \colon M^M \to M$ 为 “在 $x$ 处取值” 的映射, 那么复合 $\operatorname{ev}_x \circ X \colon D \to M$ 即是 $M$ 的切向量 $(X)_x$, 而复合 $\operatorname{ev}_x \circ l \colon D(2) \to M$ 是 $(X)_x$, $(Y)_x$ 唯一决定的映射, 所以 $$ (X+Y)_x \colon D \overset\Delta\to D(2) \overset l \to M^M \overset{\operatorname{ev}_x}{\to} M $$ 正是 $(X)_x$, $(Y)_x$ 的和, 这证明了结论. $\square$
由此, 我们更加有理由将 $M$ 的切向量场与 $M^M$ 在 $\operatorname{id}$ 的切向量等同起来. 有趣的是, 上面提到的映射 $l \colon D(2) \to M^M$ 可以明确地写出来.
命题. 对于切向量 $X,Y \colon D \to M^M$, 取其唯一决定的映射 $l \colon D(2) \to M^M$, 则对 $(d_1,d_2)\in D(2)$, 有 $$ l(d_1,d_2) = X(d_1) \circ Y(d_2) = Y(d_2) \circ X(d_1), $$ 进而有 $$ (X + Y)(d) = X(d) \circ Y(d) = Y(d) \circ X(d). $$
证明. 留作习题.
我们看到, 当 $(d_1,d_2)\in D(2)$ 时, 两个无穷小的流 $X(d_1)$, $Y(d_2)$ 是交换的. 然而, 即使范围扩大一点点, 当 $(d_1,d_2) \in D\times D$ 时, 这两个流便不再交换 (回忆 $D(2) \subset D\times D$.). 这个事实引出了著名的 Lie 括号.
考虑映射 $\tau \colon D\times D \to M^M$, $(d_1,d_2) \mapsto Y(-d_2) \circ X(-d_1) \circ Y(d_2) \circ X(d_1)$. 假设 $M$ 满足所谓 “强微线性” (我们尚未介绍这个概念, 但不妨先接受), 那么映射 $\tau$ 可分解为乘法 $D\times D \to D$ 和一个切向量 $D \to M^M$ 的复合. 于是有如下的定义.
定义 (Lie 括号). 向量场 $X,Y \colon D \to M^M$ 的 Lie 括号 $[X,Y]$ 是唯一满足如下条件的向量场: 对任意 $(d_1,d_2)\in D\times D$, $$ [X,Y] (d_1d_2) = Y(-d_2) \circ X(-d_1) \circ Y(d_2) \circ X(d_1). $$ 这表示 Lie 括号对应着一个差一点点没闭合的 “四边形” 首尾两端的差距.
命题. Lie 括号反交换: $[Y,X]=-[X,Y]$.
证明. 由定义, 对任意 $(d_1,d_2)\in D\times D$, $$ \begin{aligned} &[Y,X](d_1d_2)\\ &=X(-d_1)\circ Y(-d_2) \circ X(d_1)\circ Y(d_2)\\ &=\big(Y(-d_2)\circ X(-d_1)\circ Y(d_2)\circ X(d_1)\big)^{-1}\\ &=[X,Y](d_1d_2)^{-1}=(-[X,Y])(d_1d_2). \end{aligned} $$
命题 (Jacobi 恒等式). 对三个向量场 $X,Y,Z\colon D \to M^M$, $$ [[X,Y],Z]+ [[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0. $$
证明. 由定义, 对任意 $(d_1,d_2,d_3)\in D\times D\times D$, $$ \begin{aligned} &[[X,Y],Z](d_1d_2d_3)\\ &=Z(-d_3)X(-d_1)Y(-d_2)X(d_1)Y(d_2)\\ &\quad Z(d_3)Y(-d_2)X(-d_1)Y(d_2)X(d_1). \end{aligned} $$ (但是这个证明太长了, 我懒得写. 另一方面, 引入方向导数之后这个命题就变得显然了.)
方向导数
与传统微分几何一样, 切向量场可作为方向导数算子.
设 $X\colon M\times D \to M$ 是 $M$ 上的切向量场, $f \colon M \to R$ 是 $M$ 上的函数, 定义 $f$ 关于 $X$ 的方向导数 $X(f)$ 是唯一满足如下条件的函数: $$ f(X(x,d)) = f(x) + d \cdot X(f)(x)\,\forall x\in M\,\forall d\in D. $$ 用范畴语言, $X(f)$ 是如下映射: $$ M \overset{X}{\to} M^D \overset{f^D}{\to} R^D \overset{\gamma}{\to} R, $$ 其中 $\gamma \colon R^D \to R$ 是取切向量 $D \to R$ 的 “一次项”. 注意方向导数的定义没有使用微线性条件 (但是其某些性质需要微线性).
例. $M=R$, $X(x,d)=x+d$, 此时向量场 $X$ 也记作 $\dfrac{\partial}{\partial x}$. 那么 $X(f)=f'$.
命题. 对任意向量场 $X\colon M\times D \to M$ 与函数 $f,g\colon M \to R$,
- $X(af) = aX(f)\,(\forall a\in R)$;
- $X(f+g) = X(f)+ X(g)$;
- $X(f\cdot g) = X(f)\cdot g+f\cdot X(g)$.
这是导数性质的推广. 我们证明第三个等式: $$ \begin{aligned} &f\cdot g(X(x,d)) \\ &= \big(f(x)+d\cdot X(f)(x)\big)\big(g(x)+d\cdot X(g)(x)\big)\\ &=(f\cdot g)(x) + d\cdot \big(X(f)(x)g(x) + f(x)X(g)(x)\big). \end{aligned} $$
命题. 对任意向量场 $X,Y \colon M\times D \to M$ 与函数 $f,g \colon M \to R$,
- $(g\cdot X)(f) = g\cdot X(f)$;
- $(X+Y)(f) = X(f) + Y(f)$;
- $[X,Y](f) = X(Y(f)) -Y(X(f))$.
第一个等式: $$ \begin{aligned} &f\big((g\cdot X) (x,d)\big)\\ &= f\big(X(x,g(x)d)\big)\\ &= f(x)+ (g(x)d)\cdot X(f)(x). \end{aligned} $$ 第二个等式的证明略. 下面证明第三个等式. 对任意 $d_1,d_2\in D$ 与 $x_0\in M$ 考虑如下四个点 $x_1,\cdots,x_4$, $$ x_0 \overset{X(d_1)}{\to} x_1 \overset{Y(d_2)}{\to} x_2 \overset{X(-d_1)}{\to} x_3 \overset{Y(-d_2)}{\to} x_4, $$ 那么 $$ \begin{aligned} f(x_4)&=f(x_3)-d_2 Y(f)(x_3)\\ &=f(x_2)-d_1X(f)(x_2)-d_2Y(f)(x_3). \end{aligned} $$ 类似地, $$ \begin{aligned} f(x_0)&=f(x_1)-d_1 X(f)(x_1)\\ &=f(x_2)-d_2Y(f)(x_2)-d_1X(f)(x_1). \end{aligned} $$ 以上两式相减得 $$ \begin{aligned} &f(x_4)-f(x_0)\\ &=d_1\big(X(f)(x_1)-X(f)(x_2)\big)\\ &\quad +d_2\big(Y(f)(x_2)-Y(f)(x_3)\big)\\ &=-d_1d_2 Y(X(f))(x_2)\\ &\quad {}+d_1d_2 X(Y(f))(x_2). \end{aligned} $$ 注意到对任意函数 $h \colon M\to R$, $d_1d_2 h(x_2) = d_1d_2 h(x_0)$, 这是因为 $$ d_2h(x_2)-d_2h(x_1)=d_2^2 Y(h) (x_1)=0, $$ $$ d_1h(x_1)-d_1h(x_0)=d_1^2 Y(h)(x_0) = 0. $$ 由此, $$ f(x_4)-f(x_0) = d_1d_2 \big(X(Y(f))-Y(X(f))\big)(x_0). $$ 但由 $x_4$ 以及 $[X,Y]$ 的定义, $$ f(x_4)-f(x_0) = d_1d_2 [X,Y](f)(x_0). $$ 故我们证明了 $$ [X,Y](f) = X(Y(f)) -Y(X(f)). $$
例. 在 $R^n$ 上考虑向量场 $\dfrac{\partial}{\partial x_i}$, 定义为 $(x,d)\mapsto (x_1,\cdots,x_i+d,\cdots,x_n)$. 那么对任意 $i,j$, 向量场 $\dfrac{\partial}{\partial x^i},\dfrac{\partial}{\partial x^j}$ 交换, 也即两者的 Lie 括号等于 $0$.
上节习题答案
命题. 设 $M,N$ 是微线性对象, 证明对任意映射 $f \colon M \to N$ 与 $x\in M$, 映射 $$ d_xf \colon T_xM \to T_{f(x)}N $$ 是线性映射.
证明. 验证映射 $d_xf$ 保持数乘是相对容易的. 我们验证 $d_x f$ 保持切向量的和. 回忆对于切向量 $t_1,t_2 \in T_xM$, 其和定义为 $t_1+t_2 = l_{t_1,t_2} \circ\Delta$, 映射 $l_{t_1,t_2} \colon D(2) \to M$ 由两个切向量唯一决定.
由 $l_{f\circ t_1, f\circ t_2}$ 的唯一性, 有 $l_{f\circ t_1, f\circ t_2} = f\circ l_{t_1,t_2}$. 因此 $$ \begin{aligned} & d_x f (t_1+t_2) \\ &= f\circ (t_1+t_2)\\ &= f\circ l_{t_1,t_2} \circ \Delta\\ &= l_{f\circ t_1,f\circ t_2}\circ\Delta\\ &= f\circ t_1 + f \circ t_2\\ &= d_xf(t_1) + d_x f(t_2).\,\square \end{aligned} $$