旋量群的不可约表示通过关联丛的构造对应于基本的旋量丛.
$4$ 维情形:
$$
\mathbb{R}^{3+1}\otimes \mathbb{C} \simeq \underset{A}{\mathbb{C}^2} \otimes \underset{A'}{\widetilde {\mathbb{C}}^2},
$$
$$
\widetilde {SO_o(1,3)} \simeq SL(2,\mathbb{C})
$$
Weyl 张量, 零迹 Ricci 张量都对应某些表示.
相关: twistor 理论
自旋度量
使用下标 $a=AA'$,
$$
g_{ab}=g_{AA'BB'}=\epsilon_{AB}\overline{\epsilon_{A'B'}},
$$
$\nabla_{BB'}\Pi_A$ 在两个不可约表示上的分量分别为 $\nabla_{B'(B}\Pi_{A)}$ 与 $\nabla_{B'B}\Pi_A \epsilon^{BA} = \nabla_{B'}^{A}\Pi_A$.