观念
定义
代数簇
代数簇 (或代数几何中更一般的几何对象) 的 De Rham 上同调是 de Rham 复形的超上同调.
抽象定义
设 $\mathcal X$ 为局部 $\infty$-连通意象, 如合聚意象. 这意味着 $\mathcal X$ 具有三元伴随
$$
\Pi \dashv \Delta \dashv\Gamma\colon \mathcal X \to\mathsf{Ani}.
$$
其中 $\Delta\colon \mathsf{Ani}\to\mathcal X$ 为拉回 (常值层) 函子, $\Gamma\colon \mathcal X \to\mathsf{Ani}$ 为推前 (整体截面) 函子, 有一个额外左伴随 $\Pi\colon \mathcal X \to \mathsf{Ani}$.
回忆, 平模态 $\flat$ 的定义为
$$
\flat A = \Delta\Gamma A,
$$
带有余单位 $\flat A \to A$. 函子 $\flat$ 的左伴随为形模态 $ʃ$,
$$
ʃ A = \Delta \Pi A,
$$
满足
$$
\operatorname{Hom}(X,\flat A) = \operatorname{Hom}(ʃX,A),
$$
带有单位 $X \to ʃ X$.
对于带基点对象 $A\in\mathcal X_{*/}$, 定义
$$
\flat_{\mathrm{dR}}A := \operatorname{fib}(\flat A \to A),
$$
对任意对象 $X$, 定义
$$
ʃ_{\mathrm{dR}}X := \operatorname{cofib}(X \to ʃ X).
$$
定义 de Rham 上同调为
$$
H_{\mathrm{dR}}(X,A) := \operatorname{Hom}(X,\flat_{\mathrm{dR}} A) = \operatorname{Hom}(ʃ_{\mathrm{dR}}X,A).
$$
性质
光滑紧合的代数簇的 de Rham 上同调等同于其解析化后的 de Rham 上同调.