一般而言, 一个对象 $X$ 的滤过是指一个序列 $X_\bullet$, 满足 $X$ 是同伦 (余) 极限 $\operatorname{hocolim}X_\bullet$.
有时我们称稳定同伦范畴中的序列 $\cdots\to X_2\to X_1 \to X_0=X$ 为滤过谱.
性质
谱序列
滤过谱给出一个可用于计算同伦群的谱序列.
给定滤过谱 $\cdots\to Y_2\to Y_1\to Y_0$, 记 $A_k$ 为 $Y_{k+1}\to Y_k$ 的余纤维列, 从而 $Y_{k+1}\to Y_k \to A_k\to \Sigma Y_{k+1}$ 是正合三角. 以 $[X,-]_\bullet$ (定义见稳定同伦范畴) 作用之, 得到如下长正合列,
$$
\cdots\to [X,Y_{k+1}]_\bullet \to[X,Y_{k}]_\bullet \to[X,A_{k}]_\bullet \to[X,Y_{k+1}]_{\bullet-1} \to\cdots
$$
它也可写为正合偶 (exact couple) 的形式 (注意不是交换图),
$$
\begin{array}
{ccc}
[X,Y_\bullet]_\bullet & \to & [X,Y_\bullet]_\bullet\\
& \nwarrow & \downarrow\\
&& [X,A_\bullet]_\bullet
\end{array}
$$
定义
$$
D^{p,p+q}:=[X,Y_p]_q,\ E^{p,p+q}:=[X,A_p]_q.
$$
那么正合偶可写为
$$
\begin{array}
{ccc}
D^{\bullet,\bullet} & \overset{i}{\to} & D^{\bullet,\bullet}\\
& _k\nwarrow & \downarrow^j\\
&& E^{\bullet,\bullet}.
\end{array}
$$
注意到因为 $kj=0$, 所以 $jkjk=0$, 即 $d=jk$ 为 $E^{\bullet,\bullet}$ 上的微分. 见导出正合偶.
…