观念
扭结是这种东西:
定义
扭结是 $S^1$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的嵌入, 满足温顺 (tameness) 条件. 温顺性有如下陈述方式:
- 可延拓为 $S^1\times D$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的嵌入;
- 光滑嵌入;
- 由若干条直线段组成.
温顺同痕的扭结视为相同的. 这里的温顺仍然是上述三个条件之一.
例
性质
投影图
扭结可以被投影图描述. 所谓投影图就是扭结在满足一些 “非退化” 条件的投影 $\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ 下的像.
投影图之间的等价可由三种基本操作生成, 称为 Reidemester 操作.
不变量
可三染色性
扭结的投影图上的一个三染色是将其每一段对应到三种颜色之一, 使得整个扭结不只有一种颜色, 并且在每个交点处要么三种颜色相等, 要么三种颜色均出现. 可三染色的性质在 Reidemester 操作下不变, 从而定义了一个扭结不变量.
平凡结不可三染色, 而三叶结是可三染色的. 这证明三叶结不是平凡结.
极值型不变量
- 解结数, 即通过投影图上一段穿过另一段的操作变为平凡结的最小次数
- 交叉数, 即所有投影图的交点数的最小值
问题 (困难). 两个扭结的连通和的交叉数是否等于交叉数的和?
拓扑不变量
补空间 $X = S^3 \setminus K$ 的同胚型是扭结不变量, 这是一个不平凡的事实.
由 Alexander 对偶, 补空间的同调群不能给我们任何信息.
但补空间的基本群 $\pi_1(X)$ 是一个有用的不变量. 每个圈 $C\colon S^1\to X$ 在 $\operatorname{Ab}\pi_1(X)\simeq H_1(X)\simeq \mathbb{Z}$ 中的像等于 $C$ 与 $K$ 的缠绕数.
考虑 Abel 化 $\pi_1(X)\to\operatorname{Ab}\pi_1(X)$ 的核 $N$, 在覆叠 Galois 对应下对应一个覆叠 $\tilde X\to X$.
取 Seifert 曲面 $F$, 即一个以 $K$ 为边界的嵌入曲面; 将 $X$ 关于 $F$ (的内部) 切开, 取 $\mathbb{Z}$ 个复制品, 即可粘出覆叠空间 $\tilde X$. (这类似于将 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 沿射线切开后, 取 $\mathbb{Z}$ 个复制品, 可以粘出 $\operatorname{log}$ 的定义域.)
此时 $H^1(\tilde X)$ 是 $\mathbb{Z}$-表示, 即 $\mathbb{Z}[t^{\pm 1}]$-模. 其中 $t$ 的行列式 $\Delta_K(t)\in \mathbb{Z}[t^{\pm 1}]$ 称为 Alexander 多项式.
Conway 定义了链环的不变量 $\nabla_K(z)$:
- $\nabla(\mathrm{unknot}) = 1$,
- $\nabla(L_+)-\nabla(L_-) = z \nabla (L_0)$,
- $\nabla(\text{split link}) = 0$.
可计算出
- $\nabla(\text{Hopf link}) = z$,
- $\nabla(\text{trefoil}) = z^2 + 1$,
- 等等.
与流形拓扑学的关系
Whitehead 证明 Poincaré 猜想的尝试中发现了一个可缩却不同胚于 $\mathbb{R}^3$ 的三维开流形 $M$. 它来源于如下的链环,
…
其中 $K_1$ 在 $S^3\setminus K_0$ 中同伦于平凡结, 但不同痕于平凡结.
考虑一个 $S^3$ 的自同胚 $f$ 将 $T_0$ 映射到 $T_1$, 然后迭代这个映射, 定义 $T_n$. 令 $T_\infty =\bigcup_n T_n$. 那么 $S^3\setminus T_\infty$ 可缩但不同胚于 $\mathbb{R}^3$.
(证明: 可缩性是由于每个 $S^3\setminus T_n$ 在 $S^3\setminus T_{n+1}$ 中可缩; 不同胚于 $\mathbb{R}^3$ 是因为其 “在 $\infty$ 处不单连通”.)
四维流形
将 $S^3$ 视为 $D^4$ 的边界, 其中的扭结若为 $D^4$ 中 $2$ 维温顺 (光滑) 曲面的边界, 则称之为 (光滑) 切口 (slice) 结.
定理. 若 $K$ 为拓扑切口结而不为光滑切口结, 则可构造 $4$ 维流形 $M$ 同胚于 $\mathbb{R}^4$ 但不光滑同胚于 $\mathbb{R}^4$.
相关概念
有理结