仿射直线对乘法群的商 [A1-Gm]

仿射直线 $\mathbb A^1 = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x] = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[\mathbb{N}]$ 上有乘法群 $\mathbb G_m = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x^{\pm 1}] = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[\mathbb{Z}]$ 的作用. 在 $\mathsf{Aff}$ 上的 ($\mathsf{Ani}$-值 fpqc) 层范畴中取其商, 记作 $\mathbb A^1 / \mathbb G_m$.

性质

拟凝聚层: 单纯消解

由 $\mathbb A^1\to \mathbb A^1 / \mathbb G_m$ 的 Čech 脉 (其几何实现为 $\mathbb A^1 / \mathbb G_m$) 可以将 $\mathsf{QCoh}(\mathbb A^1 / \mathbb G_m)$ 表现为余单纯范畴 $$ \mathsf{QCoh}(\mathbb A^1) \rightrightarrows \mathsf{QCoh}(\mathbb A^1 \times \mathbb G_m) \to^3 \cdots $$ 的极限.

作为线丛截面的分类空间

概形 (叠) $X$ 到 $\mathbb A^1 / \mathbb G_m$ 的映射等同于 $X$ 上的线丛带有一个截面 (这个结构与 Cartier 除子有关). 具体地, 映射 $$ X \to \mathbb A^1 / \mathbb G_m $$ 相当于如下资料:

• 映射 $X \to \mathbf{B}\mathbb G_m$, 对应 $X$ 上的 $\mathbb G_m$-主丛 $P\to X$ (也给出关联的线丛 $\mathcal L = P\times_{\mathbb G_m}\mathbb A^1$),
• 以及 $\mathbb G_m$-等变映射 $P\to\mathbb A^1$, 这又相当于 $\mathbb G_m$-等变截面 $P\to P\times\mathbb A^1$, 也即截面 $X\to\mathcal L$.

与滤的关系

见滤与分次的叠观点.