Wiki. 滤与分次的叠观点 [fil-gr]

陈述

分次与半群作用

设 $N$ 为交换幺半群, 则环 $A$ 上的 $N$-分次等同于仿射概形 $\operatorname{Spec}A$ 上的 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[N]$-作用. 详见分次代数.

考虑 $N=\mathbb{Z}$ 的特殊情形, 记 $\mathbb G_m = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x^{\pm 1}] = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[\mathbb{Z}]$ 为乘法群概形. 那么环 $A$ 上的 $\mathbb{Z}$-分次等同于 $\mathbb G_m$ 在仿射概形 $\operatorname{Spec}A$ 上的作用. 在相对情形中, 概形 $X$ 上的拟凝聚代数 $A$ 上的 $\mathbb{Z}$-分次等同于相对谱 $\operatorname{Spec}_X A$ 上的 $\mathbb G_m$-作用.

分次环 $A$ 上的分次模 $M$ 相当于 $\operatorname{Spec}A$ 上的 $\mathbb G_m$-等变拟凝聚层, 也即商叠 $\operatorname{Spec}A / \mathbb G_m$ 上的拟凝聚层. 具体地, 考虑两个作用 $\mathrm{act},\mathrm{triv} \colon \mathbb G_m\times\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}A$, 对应两个环同态 $A\to A[x^{\pm 1}]$, 那么 $\operatorname{Spec}A$ 上的 $\mathbb G_m$-等变拟凝聚层是 $A$-模 $M$ 带有同构 $$ M\otimes_{A,\mathrm{act}}A[x^{\pm 1}] \simeq M\otimes_{A,\mathrm{triv}}A[x^{\pm 1}], $$ 这至少给出一个映射 $M \to M[x^{\pm 1}]$, 它将 $M$ 的 $n$ 次齐次元素 $m$ 映射到 $m x^n \in M[x^{\pm 1}]$.

滤

仿射直线对乘法群的商 $\mathbb A^1 / \mathbb G_m$

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