相对谱 [相对谱]

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滤与分次的叠观点 [fil-gr]

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陈述

分次与半群作用

设 $N$ 为交换幺半群, 则环 $A$ 上的 $N$-分次等同于仿射概形 $\operatorname{Spec}A$ 上的 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[N]$-作用. 详见分次代数.

考虑 $N=\mathbb{Z}$ 的特殊情形, 记 $\mathbb G_m = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x^{\pm 1}] = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[\mathbb{Z}]$ 为乘法群概形. 那么环 $A$ 上的 $\mathbb{Z}$-分次等同于 $\mathbb G_m$ 在仿射概形 $\operatorname{Spec}A$ 上的作用. 在相对情形中, 概形 $X$ 上的拟凝聚代数 $A$ 上的 $\mathbb{Z}$-分次等同于相对谱 $\operatorname{Spec}_X A$ 上的 $\mathbb G_m$-作用.

分次环 $A$ 上的分次模 $M$ 相当于 $\operatorname{Spec}A$ 上的 $\mathbb G_m$-等变拟凝聚层, 也即商叠 $\operatorname{Spec}A / \mathbb G_m$ 上的拟凝聚层. 具体地, 考虑两个作用 $\mathrm{act},\mathrm{triv} \colon \mathbb G_m\times\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}A$, 对应两个环同态 $A\to A[x^{\pm 1}]$, 那么 $\operatorname{Spec}A$ 上的 $\mathbb G_m$-等变拟凝聚层是 $A$-模 $M$ 带有同构 $$ M\otimes_{A,\mathrm{act}}A[x^{\pm 1}] \simeq M\otimes_{A,\mathrm{triv}}A[x^{\pm 1}], $$ 这至少给出一个映射 $M \to M[x^{\pm 1}]$, 它将 $M$ 的 $n$ 次齐次元素 $m$ 映射到 $m x^n \in M[x^{\pm 1}]$.

滤

仿射直线对乘法群的商 $\mathbb A^1 / \mathbb G_m$

…

仿射态射 [仿射态射]

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观念

仿射态射是相对版本的仿射概形.

定义

对于概形的态射 $f\colon X\to Y$, 若对任意仿射开集 $U\subset Y$, 其原像 $X\times_Y U$ 为仿射概形, 则称 $f$ 为仿射态射.

性质

仿射态射是目标上的局部性质, 在基变换下稳定.

定理. 对于仿射态射 $p\colon Y\to X$, 有 $p_*\mathcal O_Y$为拟凝聚 $\mathcal O_X$-代数, 且 $Y$ 到相对谱的典范的映射 $Y\to\operatorname{Spec}_X(p_*\mathcal O_Y)$ 为同构.

推论. 闭嵌入都是仿射态射.

概形上的层语义 [概形上的层语义]

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例

代数的谱

定义. 设 $R$ 为局部环, $A$ 为 $R$-代数. 定义 $A$ 的综合谱 (synthetic spectrum) 为代数同态的集合 $$ \operatorname{Spec}A = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Alg}(R)}(A,R). $$

命题. 设 $X$ 为概形, $A$ 为 $\mathcal O_X$-代数. 那么在 $X$ 的大 Zariski 意象 $\operatorname{Zar}(X)$ 中, $A^{\mathrm{Zar}}$ 的综合谱即为相对谱 $\underline{\operatorname{Spec}}_X(A)$.

拟凝聚层

定义 (综合拟凝聚性, Ingo Definition 18.18). 设 $R$ 为局部环, $E$ 为 $R$-模. 若典范的 $R$-模同态 $$ E \otimes_R A \to E^{\operatorname{Spec}A},\, (x\otimes f) \mapsto (\varphi\mapsto \varphi(f)x) $$ 为同构, 则称 $E$ 为综合拟凝聚 (synthetically quasicoherent) $R$-模.

概形闭包 [概形闭包]

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定义

设 $i\colon Y\to X$ 是拟紧的局部闭嵌入. 那么 $i_*\mathcal O_Y$ 是拟凝聚 $\mathcal O_X$-模. 考虑理想 $$ \mathcal I = \ker (\mathcal O_X \to i_*\mathcal O_Y). $$ 定义 $Y$ 的概形闭包 (scheme-theoretic closure) 为商代数的相对谱 $$ \overline{Y} := \operatorname{Spec}_X (\mathcal O_X / \mathcal I). $$ 由相对谱的性质, 代数同态 $\mathcal O_X / \mathcal I \to i_*\mathcal O_Y$ 给出 $X$-概形的映射 $Y \to \overline{Y}$.

性质

命题. 设 $i\colon Y\to X$ 是拟紧的局部闭嵌入, 则 $Y\to \overline{Y}$ 是开嵌入.

证明. 设 $i \colon Y\to X$ 是一个闭嵌入 $i'\colon Y\to U$ 后接一个开嵌入 $U\to X$.

因为 $U\to X$ 为开嵌入, 所以 $(i_*\mathcal O_Y)|_U = i'_*\mathcal O_Y$.

因为 $i'_*$ 为闭嵌入, $\mathcal O_U \to i'_*\mathcal O_Y$ 为 (集合值层的) 满射. 又 $\ker (\mathcal O_U \to i'_*\mathcal O_Y) = \ker (\mathcal O_X \to i_*\mathcal O_Y)|_U = \mathcal I|_U$, 故 $$ i'_*\mathcal O_Y=\mathcal O_U / \mathcal I|_U= (\mathcal O_X /\mathcal I)|_U. $$ 那么 $$ \begin{aligned} \overline{Y}\times_X U &\simeq\operatorname{Spec}_U ((\mathcal O_X /\mathcal I)|_U)\\ &\simeq\operatorname{Spec}_U (i'_*\mathcal O_Y)\\ &\simeq Y. \end{aligned} $$ 因此 $Y\to\overline{Y}$ 是 $U\to X$ 的基变换, 从而是开嵌入.