定义
设 $i\colon Y\to X$ 是拟紧的局部闭嵌入. 那么 $i_*\mathcal O_Y$ 是拟凝聚 $\mathcal O_X$-模. 考虑理想
$$
\mathcal I = \ker (\mathcal O_X \to i_*\mathcal O_Y).
$$
定义 $Y$ 的概形闭包 (scheme-theoretic closure) 为商代数的相对谱
$$
\overline{Y} := \operatorname{Spec}_X (\mathcal O_X / \mathcal I).
$$
由相对谱的性质, 代数同态 $\mathcal O_X / \mathcal I \to i_*\mathcal O_Y$ 给出 $X$-概形的映射 $Y \to \overline{Y}$.
性质
命题. 设 $i\colon Y\to X$ 是拟紧的局部闭嵌入, 则 $Y\to \overline{Y}$ 是开嵌入.
证明. 设 $i \colon Y\to X$ 是一个闭嵌入 $i'\colon Y\to U$ 后接一个开嵌入 $U\to X$.
因为 $U\to X$ 为开嵌入, 所以 $(i_*\mathcal O_Y)|_U = i'_*\mathcal O_Y$.
因为 $i'_*$ 为闭嵌入, $\mathcal O_U \to i'_*\mathcal O_Y$ 为 (集合值层的) 满射. 又 $\ker (\mathcal O_U \to i'_*\mathcal O_Y) = \ker (\mathcal O_X \to i_*\mathcal O_Y)|_U = \mathcal I|_U$,
故
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i'_*\mathcal O_Y=\mathcal O_U / \mathcal I|_U= (\mathcal O_X /\mathcal I)|_U.
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那么
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\begin{aligned}
\overline{Y}\times_X U
&\simeq\operatorname{Spec}_U ((\mathcal O_X /\mathcal I)|_U)\\
&\simeq\operatorname{Spec}_U (i'_*\mathcal O_Y)\\
&\simeq Y.
\end{aligned}
$$
因此 $Y\to\overline{Y}$ 是 $U\to X$ 的基变换, 从而是开嵌入.