Wiki. 泛闭映射 [泛闭映射]

定义

称概形的映射 $f\colon X\to Y$ 泛闭 (universally closed) 是指对任意基变换 $Y'\to Y$, $f'\colon X\times_Y Y' \to Y'$ 为闭映射.

性质

赋值判别法

命题. 设 $f\colon X\to Y$ 为概形的拟紧映射. 则 $f$ 泛闭当且仅当 $f$ 满足赋值判别法中的存在性部分, 即对任意赋值环 $A$ 及其分式域 $K$, 提升问题 $$ \begin{array} {ccc} \operatorname{Spec}K & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Spec}A & \to & Y \end{array} $$ 总存在至少一个解.

例

$\mathbb A^1_k \to \operatorname{Spec}k$ 是闭映射, 但不是泛闭映射, 因为其基变换 $\mathbb A^2_k \to\mathbb A^1_k$ 不是闭映射.