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百科. 对角线 [对角线]

SimplicialCat

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百科. 共轭作用 [共轭作用]

SimplicialCat

生象群 $G$ 的共轭作用 (又叫伴随作用 $\mathrm{Ad}$) 是 $G$ 在自身上的一个作用, 可定义为 $G\times G$ 在 $G$ 上的左乘右乘作用沿对角线 $\Delta\colon G\to G\times G$ 的拉回. $G\times G$ 在 $G$ 上的左乘右乘作用由逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 的对角线给出: $$ \begin{array} {c} G/(G\times G)=\mathbf{B}G\\ \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\!\\ \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 从而共轭作用的商 $G/_{\mathrm{Ad}}G$ 是 $\mathbf{B}G$ 的对角线 $\Delta_{\mathbf{B}G}$ 沿 $\Delta$ 自身的拉回. $$ \begin{array} {ccc} G /_{\mathrm{Ad}} G & \to & \mathbf{B}G\\ \downarrow & & \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\! \\ \mathbf{B}G & \underset{\Delta}{\to} & \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 注意到由 $S^1$ 的表现 $S^1 = *\sqcup_{*\sqcup *} *$, 前述拉回也等同于 $S^1$ 到 $\mathbf{B}G$ 的映射空间, 即 $\mathbf{B}G$ 的自由环路空间: $$ G /_{\mathrm{Ad}} G = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(S^1,\mathbf{B}G). $$

一般地, 对于群同态 $\phi\colon A\to G$, 有 $A$ 在 $G$ 上的共轭作用, 其商 $G /_{\mathrm{Ad}} A$ 为如下拉回. $$ \begin{array} {ccc} G /_{\mathrm{Ad}} A & \to & \mathbf{B}G\\ \downarrow & & \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\! \\ \mathbf{B}A & \underset{(\mathbf{B}\phi,\mathbf{B}\phi)}{\to} & \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 当然, 这个作用就是 $G$ 在 $G$ 上的共轭作用沿着群同态 $\phi\colon A\to G$ 的拉回.

例

百科. 分离态射 [分离态射]

SimplicialCat

定义

概形的态射 $f\colon X\to Y$ 称为分离 (separated) 态射, 是指对角线 $X\to X\times_Y X$ 是闭嵌入.

概形 $X$ 称为分离概形是指 $X\to\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 是分离态射.

例

百科. 微丛 [微丛]

SimplicialCat

观念

微丛 (microbundle) 是以带基点的拓扑空间 $\mathbb{R}^n$ 为纤维的纤维丛, 是向量丛的模拟, 但其上没有加法.

定义

一个微丛是拓扑空间之间的一个连续映射 $p\colon E \to B$, 带有截面 $i\colon B\to E$ (称为零截面), 且满足如下局部平凡性: 对任意 $b\in B$, 存在 $b$ 的邻域 $U$ 与 $i(b)$ 的邻域 $V$, 以及 $U$ 上的同构 $$ \begin{array} {ccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! V \cap p^{-1}(U) \!\!\! & \overset{\simeq}{\to} &\!\!\! U\times\mathbb{R}^n\!\!\!\\ \downarrow & \swarrow &\\ U.\!\!&& \end{array} $$ 但实际上微丛 $E\to B$ 有用的信息只是零截面 $i(B)$ 的一个 “微小” 邻域. 因为微丛的态射是这样定义的: 同一个空间 $B$ 上的微丛之间的态射 $E\to E'$ 是零截面邻域上的函数芽. 因此, 两个微丛的同构也只需要各自的零截面的一个邻域之间的同构.

例

切微丛

拓扑流形 $M$ 的切微丛定义为 $\mathrm{pr}_1\colon M\times M\to M$, 零截面为对角线 $\Delta\colon M\to M$. 如前所述, 这个微丛实际上有用的信息是 $M$ 的每个点的一个微小的邻域.

百科. 截断性 [截断性]

SimplicialCat

观念

定义

固定一个 $\infty$-意象 (或更一般的可表现范畴) $\mathcal C$, 例如生象的范畴 $\mathsf{Ani}$.

归纳定义

我们对 $n\geq -2$ 归纳定义 $\mathcal X$ 中的对象和态射的 $n$-截断性. 态射 $X\to Y$ $n$-截断就是指其在俯意象 $\mathcal C_{/Y}$ 中是 $n$-截断对象.

$n=-2$:

$(-2)$-截断对象就是终对象 $*$.
$(-2)$-截断态射就是等价.

$n\geq -1$:

对象 $X$ 是 $n$-截断对象当且仅当对角线 $\Delta_X\colon X\to X\times X$ 是 $(n-1)$-截断态射.
态射 $f\colon X\to Y$ 是 $n$-截断态射当且仅当其在 $\mathcal C_{/Y}$ 中是 $n$-截断对象, 即 $\Delta_f \colon X \to X\times_Y X$ 是 $(n-1)$-截断态射.

$n$-截断的归纳定义是如下同伦类型论 (见截断性 (同伦类型论)) 命题的范畴语义: $X$ 是 $n$-截断的, 当且仅当对任意 $a,b \in X$, $$ a =_X b $$ 是 $(n-1)$-截断的.

通过局部性定义

定义 $n$-截断对象为关于如下态射族的局部对象: $$ \{A\times S^{n+1} \to A\}. $$ 其中 $S^{n+1}$ 是 $(n+1)$ 维球面.

$n$-截断的局部对象定义是如下同伦类型论命题的范畴语义: $X$ 是 $n$-截断的, 当且仅当任意映射 $S^n \to X$ 都穿过某一个点 $x\in X$. 注意这句话不能在外部 (通常) 语言中理解.

同伦类型论

见截断性 (同伦类型论).

例

$n=-1$:

$(-1)$-截断对象就是子终对象, 又称真值.
$(-1)$-截断态射就是单射.

性质

百科. 拟分离态射 [拟分离态射]

代数几何
SimplicialCat

定义

对于概形态射 $f\colon X\to Y$, 若对角线 $\Delta_f\colon X\to X\times_Y X$ 为拟紧态射, 则称 $f$ 为拟分离态射 (quasi-separated morphism).

百科. 拟分离概形 [拟分离概形]

代数几何
SimplicialCat

定义

满足如下等价条件的概形 $X$ 称为拟分离 (quasi-separated) 概形:

$X$ 的任意两个仿射开集的交均为拟紧概形.
对角线 $\Delta_X\colon X\to X\times X$ 为拟紧态射.

拟分离概形的相对版本是拟分离态射.

百科. 结合余代数 [结合余代数]

SimplicialCat

幺半范畴 $(\mathcal C,\otimes)$ 中的结合余代数是对偶范畴 $(\mathcal C^{\mathrm{op}},\otimes)$ 中的结合代数.

例

有限积范畴的对象

设范畴 $\mathcal C$ 具有有限积 (这个条件是重要的, 不能替换为一般的幺半范畴). 那么 $(\mathcal C,\times)$ 的每个对象均有一个余代数结构, 余乘法为对角线 $\Delta\colon X\to X\times X$. 同时, 每个态射 $Y\to X$ 均为余代数同态, 且赋予 $Y$ 以 $X$-余模结构 $$ Y\overset{\Delta_Y}{\to} Y\times Y \to X\times Y. $$

百科. 连通性 [连通性]

SimplicialCat

定义

用截断性定义

…

归纳定义

用同伦群定义

称一个生象 $n$-连通是指其 $n$ 阶及以下同伦群平凡.

称生象

注意. 有些文献中对象的 $n$-连通性的定义与此处可能相差 $1$. 此处的定义的优点在于, 对象的 $n$-连通性与态射的 $n$-连通性相容: 一个对象 $X$ $n$-连通当且仅当唯一的态射 $X\to *$ 是 $n$-连通态射.

在 HoTT 中, 称一个映射 $n$-连通是指其纤维 $n$-连通. 注意传统拓扑学的 $n$-连通映射在HoTT 中称为 $(n-1)$-连通映射.

例

$n=-2$:

任何生象都是 $(-2)$-连通的.
任何映射都是 $(-2)$-连通的.

$n=-1$:

$(-1)$-连通生象是非空生象.
$(-1)$-连通映射是满射.

$n=0$:

$0$-连通生象就是通常所说的非空连通生象.

$n=1$:

$1$-连通生象就是通常所说的单连通生象.

性质

用对角线刻画

定理. 设 $n\geq 0$. 映射 $f\colon X\to Y$ $n$-连通当且仅当 $f$ 为满射且对角线 $\Delta_f \colon X\to X\times_Y X$ 为 $(n-1)$-连通映射.

用俯意象刻画

命题. 意象 $\mathcal C$ 中, 映射 $f\colon X\to Y$ $n$-连通当且仅当 $f^* \colon (\mathcal C_{/Y})_{\leq n} \to (\mathcal C_{/X})_{\leq n}$ 全忠实; 换言之, 对任意 $n$-截断映射 $Z\to Y$, $Z'\to Y$, $$ \operatorname{Hom}_{Y}(Z,Z')\simeq \operatorname{Hom}_X(Z_X,Z'_X) \simeq\operatorname{Hom}_Y(Z_X,Z'). $$ 假设 $f$ $n$-连通, 则 $Z_X \to Z$ 亦 $n$-连通, 而 $Z'\to Y$ $n$-截断, 由正交性得 $\operatorname{Hom}_{Y}(Z,Z')\simeq\operatorname{Hom}_Y(Z_X,Z')$. 另一方面, 假设有上述等价, 令 $Z=Y$, 得 $f\colon X\to Y$ 正交于所有 $n$-截断映射 $Z'\to Y$, 故 $X\to Y$ $n$-连通. $\square$