俯意象 [俯意象]

定义

意象的俯范畴仍是意象, 称之为俯意象 (over-topos).

性质

函子性

俯意象的构造 $X\mapsto\mathcal C_{/X}$ 给出函子 $$ \mathcal C \to \mathsf{Topos}_{/\mathcal C}. $$ 对于 $\mathcal C$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 相应的俯意象的几何态射 $(f^*\dashv f_*)\colon \mathcal C_{/X} \to \mathcal C_{/Y}$ 为本质几何态射.

极限和余极限

和一般的俯范畴一样,

• 俯意象 $\mathcal C_{/X}$ 中的极限等同于 $\mathcal C$ 中的原图表加上各对象到 $X$ 的态射后所得图表的极限. 例如 $\mathcal C_{/X}$ 中 $Y\to X, Z\to X$ 的积是 $\mathcal C$ 中 $Y \to X \leftarrow Z$ 的拉回.
• 俯意象中的余极限等同于原意象中的余极限.

例如

• 俯意象 $\mathcal C_{/X}$ 中的球面 $S^n$ 为 $S^n\times X \to X$ (因为球面是由终对象出发经过 $n$ 次推出构造的).

指数对象

俯意象 $\mathcal C_{/X}$ 中的指数对象为 $$ p^q = q_* q^* p. $$

下降

俯意象函子 $$ \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat},\, X\mapsto\mathcal C_{/X} $$ 保持极限. 换言之, 对于 $\mathcal C$ 中的余极限 $X=\operatorname{colim}_i X_i$, 有 $$ \mathcal C_{/X} \simeq \operatorname{lim}_i \mathcal C_{/X_i}. $$ 这一事实甚至可以作为意象的定义.

与几何态射的互动

对于意象之间的几何态射 $f\colon \mathcal E \to \mathcal S$ 与 $\mathcal S$ 的对象 $X$, 有几何态射 $$ f_{/X} \colon \mathcal E_{/f^*X} \to \mathcal S_{/X}. $$