定义
直接定义
组合 $n$-圆盘的理论是一种凝聚理论:
- 类型 $X_0,\cdots,X_n$;
- 函数符号 $s_k,t_k\colon X_k\to X_{k+1}$, $p_{k+1}\colon X_{k+1}\to X_{k}$ ($0\leq k < n$);
- 等式 $p_{k+1} s_{k} = p_{k+1} t_{k} = \mathrm{id}_{X_{k}}$, $s_{k+1} s_k = t_{k+1} s_k$, $s_{k+1} t_k = t_{k+1} t_k$ ($0\leq k < n$);
- $X_0$ 有唯一的元素 $*$;
- $s_0(*) \neq t_0(*)$;
- 若 $s_k(x) = t_k(x)$, 则 $x = s_{k-1}(y)$ 或 $x=t_{k-1}(y)$ ($1\leq k < n$);
- 对任意 $x\in X_k$, $p_{k+1}^{-1}(x)$ 带有全序关系 $\leq$, 端点为 $s_k(x)$ 与 $t_k(x)$.
通过相对观点归纳定义
设 $\mathcal C$ 为意象, 可通过相对观点归纳定义 $\mathcal C$ 中的组合 $n$-圆盘: 它是一个序列
$$
*=X_0\leftarrow X_1\leftarrow \cdots \leftarrow X_n,
$$
每个 $X_{k+1}$ 都是俯意象 $\mathcal C_{/X_k}$ 中的区间 (不要求为严格区间), 区间的两端分别为
$$
s_k,t_k\colon X_{k}\to X_{k+1};
$$
要求这个区间退化的地方恰好等于 $X_k$ 的边界 $s_{k-1}(X_{k-1}) \cup t_{k-1}(X_{k-1})$. 这体现了圆盘的直观: $(n+1)$ 维圆盘是相对于 $n$ 维圆盘的区间, 且恰在 $n$ 维圆盘的边界上退化.
例
欧式球
欧氏空间中的圆盘 $D^n$ 是圆盘的朴素例子. 两个映射
$$
s_k,t_k\colon D^k\to D^{k+1}, \vec x\mapsto (\vec x,\pm\sqrt{1-|\vec x|^2})
$$
分别给出 $D^{k+1}$ 的边界的两个半球. 投影映射
$$
p_{k+1}\colon D^{k+1}\to D^k
$$
即为前 $k$ 分量的投影.