分类空间 [分类空间]

一种结构 $P$ 的分类空间 $B$ 是这样一个空间: 任何空间 $X$ 上的结构 $P$ 对应于 $X$ 到 $B$ 的映射. $$ \{X\,\text{上的}\,P\,\text{结构}\} \simeq \{X\to B\}. $$ 换言之 $B$ 是结构 $P$ 的全体对应的函子的表示对象. 因而 $B$ 到自身的恒等映射对应着 $B$ 上的 “万有” 的这种结构.

例

对称性与分类空间

当某种对象具有较强的对称性时, 其分类空间往往比较有意思: 常常一个群 $G$ 传递地作用于这种对象的全体, 而稳定子群为 $H$, 则这种对象的分类空间为陪集空间 $G/H$.

初等几何中的模空间

• $S^1$ 上的两个无序的点的模空间是圆环面在对称群的作用下的商 $T^2/S_2$. ($T^2$ 传递地作用于两个有序点的分类空间 $(S^1)^2$, 稳定子群为 $S_2$.)

纤维范畴

范畴 $X$ 上的纤维范畴对应于函子 $X^{\text{op}}\to \mathsf{Cat}$, 称为 Grothendieck 构造. 这可以理解为 $\mathsf{Cat}$ 是范畴的分类空间. 若要求每个纤维均等价于某个固定的纤维 $F$, 则这样一个函子 $X^{\text{op}}\to \mathsf{Cat}$ 的像落在 $\mathbf{B}{\operatorname{Aut}(F)}$ 中.

主丛

群 $G$ 的分类空间指的是其逆环路空间 $\mathbf{B}G$, 它是一个带基点连通空间, 带有万有 $G$-主丛 ${*}\to \mathbf{B}G$.

另见分类意象, 分类叠.