语法是组织符号的方法, 而语义是符号所指向的东西.
一个重要的观念是: 同一个符号可以指向不同的东西, 只要它们满足同样的规律. 例如代数方程中的未定元 $x$ 可以指代一个代数中不同的元素. 但在基础代数之外的领域, 人们似乎常常忘记这一点. 参见综合数学是抽象代数的范畴化.
常常, 一种数学结构可以表示为一个映射
$$
\text{语法} \to \text{语义},
$$
其中
- “语法” 是由少量信息表现的一个较为抽象的结构, 通常是一个代数或一个范畴 (见语法范畴), 其中的元素或对象记录了某种语言 (如某种一阶语言);
- “语义” 是某一类较为具体的, 或在实践中自然出现的代数对象;
- 这个函子表达的是一个指定的结构相当于给语法的每个对象赋予一个具体的意义的过程 (如一阶语言的解释); 也称为一个理论的模型.
代数–几何对偶, 与分类空间的联系
若将上述的 “语法” 和 “语义” 视为代数对象, 则从对偶的几何侧来看, 一个数学结构是一个映射
$$
\text{参数空间} \to \text{分类空间},
$$
其中
- 参数空间是某个在实践中自然出现的几何对象;
- 参数空间是语义的对偶;
- 分类空间是语法的对偶;
- 这个映射表达的是一个指定的结构相当于对参数空间的每一个点赋予一个结构的过程.
例
代数方程组的解
多项式方程 $f(x)=0$ 在环 $A$ 中的解可以表示为环同态
$$
\mathbb{Z}[x]/(f) \to A,
$$
其中 $x$ 在 $A$ 中的像即是这个解,
- $\mathbb{Z}[x]/(f)$ 是记录语法的代数对象,
- $A$ 是记录语义的代数对象.
(当然, 本例也可推广到多个变量, 多个方程构成的方程组. 类似地, 微分方程组的解可表示为 D-模的同态.)
在代数–几何对偶之下, 环同态 $\mathbb{Z}[x]/(f) \to A$ 对应仿射概形的映射
$$
\operatorname{Spec} A \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(f) = \{x\in \mathbb A^1 \mid f(x) = 0\}.
$$
其中
- $\operatorname{Spec}A$ 是参数空间,
- $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(f)$ 是方程的解的分类空间.
交换半群
考虑有限集关于无交并构成的对称幺半范畴 $\mathsf{Fin}^{\sqcup}$,
以及集合关于乘积构成的对称幺半范畴 $\mathsf{Set}^\times$.
那么一个对称幺半函子
$$
\mathsf{Fin}^{\sqcup} \to \mathsf{Set}^\times
$$
等同于一个交换半群.
具体地, 交换半群 $A$ 给出函子
$$
\{1,\cdots,n\} \mapsto A^n,\quad
\varnothing\mapsto \{*\},
$$
其中映射 $\{1,2\} \to \{1\}$ 对应的映射 $A^2\to A$ 正是 $A$ 上的运算; 映射 $\varnothing\to\{1\}$ 对应的映射 $\{*\}\to A$ 正是其单位元.
在本例中, $\mathsf{Set}^\times$ 可以替换为任何对称幺半范畴 $\mathcal D$, 称对称幺半函子 $\mathsf{Fin}^\sqcup \to \mathcal D$ 为 $\mathcal D$ 中的交换代数. 例如交换环 $R$ 上的模关于张量积构成的范畴 $\mathsf{Mod}_R^\otimes$ 中的交换代数就是通常说的交换 $R$-代数.
因此我们借用范畴逻辑学的术语, 称 $\mathsf{Fin}^\sqcup$ 记录了交换代数的语法 (syntax), 而种种具体的交换代数都是这个范畴到其它对称幺半范畴的函子, 称之为语义 (semantics).