Wiki. 几何态射 [几何态射]

观念

若将意象视为某种几何对象, 那么几何态射 (geometric morphism) 就是这种几何对象之间合适的映射的概念. (意象之间还有其它的态射的概念, 如逻辑态射.)

一个几何态射是一对伴随, 这个概念抽象自拓扑空间的连续映射的直像–逆像伴随.

定义

意象之间的几何态射 $$ f\colon \mathcal F \to \mathcal E $$ 由一对伴随函子 $f^*\colon \mathcal E\to\mathcal F$, $f_*\colon \mathcal F\to\mathcal E$ 构成, 满足 $f^*$ 是 $f_*$ 的左伴随, 且 $f^*$ 左正合 (即保持有限极限).

性质

与拓扑空间的映射的关系

当 $Y$ 为 Hausdorff 空间时, 几何映射 $\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)$ 唯一确定了 $f\colon X\to Y$.

与逻辑的关系

几何态射保持几何逻辑的公式.

例

一个意象 $\mathcal E$ 中的箭头 $k\colon B\to A$ 给出了 “换基” (change of base) 函子 $$ k^* \colon \mathcal E/A \to \mathcal E/B. $$ 它同时具有左伴随 $\sum_k$ 与右伴随 $\prod_k$. 于是, 它给出了几何态射 $$ \mathcal E/B\to\mathcal E/A, $$ 其中 $k_*=\prod_k$. 而 $k^*$ 左正合是由于它存在左伴随 $\sum_k$.

相关概念

几何态射的性质