观念
对称序列是一种可用于定义算畴的结构.
对称序列可视为多项式函子的 “系数”, 对称序列上有一个幺半结构和一个对称幺半结构, 分别对应多项式函子的复合与乘积. 算畴的一种定义是对称序列范畴中的结合代数, 这给出多项式函子范畴中的结合代数; 特别地, 给出单子.
定义
考虑有限集合与双射构成的范畴 $\mathsf{Fin}^{\simeq}$, 配备无交并构成对称幺半范畴. 它是由一个对象生成的自由对称幺半范畴. 它也是所有有限对称群的逆环路空间的无交并:
$$
\mathsf{Fin}^{\simeq} \simeq \bigsqcup_{n\geq 0} \mathbf{B}S_n.
$$
对称幺半范畴 $\mathcal C$ 中的对称序列是函子
$$
\mathsf{Fin}^{\simeq} \to \mathcal C.
$$
给出一个对称序列就是对每个 $n$ 给出对称群 $S_n$ 的一个表示:
$$
\mathsf{SSeq}(\mathcal C) = \prod_{n\geq 0}\mathsf{Fun}(\mathbf{B}S_n,\mathcal C).
$$
性质
与自函子的关系
设对称幺半范畴 $\mathcal C$ 有合适的余极限. 那么对称序列 $F\colon \mathsf{Fin}^{\simeq} \to \mathcal C$ 给出 $\mathcal C$ 的自函子
$$
X\mapsto \bigsqcup_{n\geq 0} F(n)\otimes_{S_n}X^{\otimes n} = \int_{\mathsf{Fin}^{\simeq}}F(n)\otimes X^{\otimes n},
$$
(其中等号是由于 $\mathsf{Fin}^\simeq = \bigsqcup_{n\geq 0}\mathbf{B}S_n$)
且该函子为解析函子.
这个函子可以如下理解. 由于 $\mathsf{Fin}^{\simeq}$ 是一个对象生成的自由对称幺半范畴, 对象 $X$ 给出一个对称幺半函子 $\mathsf{Fin}^{\simeq}\to\mathcal C, n\mapsto X^{\otimes n}$; 其与 $F$ 的余端.
设 $F,G$ 是两个对称序列, 我们计算它们对应的自函子的复合:
$$
\begin{aligned}
X&\mapsto
\int_{n} F(n) \otimes
\Big(
\int_{m} G(m) \otimes
X^{\otimes m}
\Big)
^{\otimes n}\\
&\simeq\int_{n} F(n) \otimes
\int_{m_1}\cdots\int_{m_n}
\bigotimes_{i=1}^n(G(m_i)\otimes X^{\otimes m_i})\\
&\simeq
\int_{\ell}\Big[
\int_{n}\int_{m_1+\cdots + m_n = \ell}\Big(F(n)\otimes\bigotimes_{i=1}^n G(m_i)\Big)\Big]\otimes X^{\otimes\ell}.
\end{aligned}
$$
可以看到这仍是一个对称序列给出的自函子.
对称幺半范畴 $\mathcal C$ 本身的对象可视为 “集中在一次项” 的对称序列, 即有幺半函子
$$
\mathcal C \to\mathsf{SSeq}(\mathcal C),\, X\mapsto (0,X,0,0,\cdots).
$$
对称幺半结构
设对称幺半范畴 $\mathcal C$ 具有余积, 且 $X\otimes -$ 保持余积. 那么对称序列上还有一个由 Day 卷积给出的对称幺半结构; 具体地,
$$
(X\otimes Y)_n = \bigsqcup_{p+q=n} \operatorname{Ind}_{\Sigma_p\times\Sigma_q}^{\Sigma_n} (X_p\otimes Y_q).
$$
其中 $\operatorname{Ind}$ 是沿 $\Sigma_p\times \Sigma_q\hookrightarrow\Sigma_n$ 的 诱导表示, 即限制表示的左伴随.
泛性质
对称序列的范畴 $\mathsf{Seq}:=\mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathcal C)$ 是由一个对象生成的自由 $\mathcal C$-充实对称幺半范畴. 换言之, 它是遗忘函子 $U\colon \mathcal C\text{-}\mathsf{Cat}^{\text{SymMon}} \to \mathsf{Cat}$ 的表示对象. 因此由 $(\infty,2)$-范畴版本的米田引理,
$$
\begin{aligned}
\mathsf{Seq} &\simeq \mathsf{Fun}^{\text{SymMon}}(\mathsf{Seq},\mathsf{Seq}) \\&\simeq \operatorname{End}(U).
\end{aligned}
$$
这给出其上的复合幺半结构. 这是自由–遗忘伴随的一般现象.
例. 固定一个域 $k$, 记 $\mathsf{Vect}$ 为 $k$-线性空间范畴的导出范畴. $\mathsf{Vect}$ 中的对称序列构成的范畴
$$
\mathsf{Vect}^\Sigma:= \mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathsf{Vect}) \simeq \prod_{n\geq 1} \mathsf{Rep}(\Sigma_n)
$$
是一个对象生成的自由 DG 范畴. 见 Gaitsgory–Rozenblyum 导出代数几何讲义 (关于 Lie 代数与 Koszul 对偶的一节).