观念
对称序列是一种可用于定义算畴的结构.
对称序列可视为多项式函子的 “系数”, 对称序列上有一个幺半结构和一个对称幺半结构, 分别对应多项式函子的复合与乘积.
定义
考虑有限集合与双射构成的范畴 $\mathsf{Fin}^{\simeq}$, 配备无交并构成对称幺半范畴. 它是由一个对象生成的自由对称幺半范畴. 它也是所有有限对称群的逆环路空间的无交并:
$$
\mathsf{Fin}^{\simeq} \simeq \bigsqcup_{n\geq 0} \mathbf{B}S_n.
$$
对称幺半范畴 $\mathcal C$ 中的对称序列是函子
$$
\mathsf{Fin}^{\simeq} \to \mathcal C.
$$
给出一个对称序列就是对每个 $n$ 给出对称群 $S_n$ 的一个表示.
性质
与自函子的关系
设对称幺半范畴 $\mathcal C$ 有合适的余极限. 那么对称序列 $F\colon \mathsf{Fin}^{\simeq} \to \mathcal C$ 给出 $\mathcal C$ 的自函子
$$
X\mapsto \bigsqcup_{n\geq 0} F(n)\otimes_{S_n}X^{\otimes n} = \int_{\mathsf{Fin}^{\simeq}}F(n)\otimes X^{\otimes n},
$$
且该函子为解析函子.
这个函子可以如下理解. 由于 $\mathsf{Fin}^{\simeq}$ 是一个对象生成的自由对称幺半范畴, 对象 $X$ 给出一个对称幺半函子 $\mathsf{Fin}^{\simeq}\to\mathcal C, n\mapsto X^{\otimes n}$.
设 $F,G$ 是两个对称序列, 我们计算它们对应的自函子的复合:
$$
\begin{aligned}
X&\mapsto
\bigsqcup_{n\ge 0} F(n) \otimes_{S_n}
\Big(
\bigsqcup_{m\ge 0} G(m) \otimes_{S_m}
X^{\otimes m}
\Big)
^{\otimes n}\\
&\simeq\bigsqcup_{n\geq 0} F(n) \otimes_{S_n}
\bigsqcup_{(m_i)_{i=1}^n}
\bigotimes_{i=1}^n(G(m_i)\otimes_{S_{m_i}}X^{\otimes m_i})\\
&\simeq
\bigsqcup_{\ell\geq 0}\bigsqcup_{n,m_1+\cdots + m_n = \ell}\big(F(n)\otimes\bigotimes_{i=1}^n G(m_i)\big)\otimes
\end{aligned}
$$
对称幺半结构
设对称幺半范畴 $\mathcal C$ 具有余积, 且 $X\otimes -$ 保持余积. 那么对称序列上还有一个由 Day 卷积给出的对称幺半结构; 具体地,
$$
(X\otimes Y)_n = \bigsqcup_{p+q=n} \operatorname{Ind}_{\Sigma_p\times\Sigma_q}^{\Sigma_n} (X_p\otimes Y_q).
$$
其中 $\operatorname{Ind}$ 是沿 $\Sigma_p\times \Sigma_q\hookrightarrow\Sigma_n$ 的 诱导表示, 即限制表示的左伴随.
泛性质
对称序列的范畴 $\mathsf{Seq}:=\mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathcal C)$ 是由一个对象生成的自由 $\mathcal C$-充实对称幺半范畴. 换言之, 它是遗忘函子 $U\colon \mathcal C\text{-}\mathsf{Cat}^{\text{SymMon}} \to \mathsf{Cat}$ 的表示对象. 因此由 $(\infty,2)$-范畴版本的米田引理,
$$
\begin{aligned}
\mathsf{Seq} &\simeq \mathsf{Fun}^{\text{SymMon}}(\mathsf{Seq},\mathsf{Seq}) \\&\simeq \operatorname{End}(U).
\end{aligned}
$$
这给出其上的复合幺半结构. 这是自由–遗忘伴随的一般现象.
例. 固定一个域 $k$, 记 $\mathsf{Vect}$ 为 $k$-线性空间范畴的导出范畴. $\mathsf{Vect}$ 中的对称序列构成的范畴
$$
\mathsf{Vect}^\Sigma:= \mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathsf{Vect}) \simeq \prod_{n\geq 1} \mathsf{Rep}(\Sigma_n)
$$
是一个对象生成的自由 DG 范畴. 见 Gaitsgory–Rozenblyum 导出代数几何讲义 (关于 Lie 代数与 Koszul 对偶的一节).