解析函子是解析函数的范畴化.
解析函子 $\mathsf{Ani}_{/X}\to \mathsf{Ani}_{/Y}$ 均可写成 $t_! p_* s^*$ 的形式, 其中 $t,p,s$ 如下图, 且 $p$ 的纤维有限而离散:
$$
X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y
$$
$t_!$ 是 $t^*$ 的左伴随, $p_*$ 是 $p^*$ 的右伴随.
直观上,
- $s^*$ 是在每个 $e\in E$ 上放一个来自 $X$ 的东西,
- $p_*$ 是对每个 $b \in B$ 将 $b$ 上的一堆有限个东西相乘 (见依值积),
- $t_!$ 是对每个 $y\in Y$ 将 $y$ 上的一堆东西相加 (见依值和)
- 因此 $t_! p_* s^*$ 就是 “拿 $X$ 个不同的东西, 每个可以拿多份, 共有 $E$ 份; 然后将这 $E$ 份分成 $B$ 组, 每组有限个; 将每一组乘起来, 将这 $B$ 个乘积再分成 $Y$ 组, 每一组加起来”. 这正是解析函数的直观.