观念. 范畴化 [范畴化]

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范畴化 (categorification) 在数学上有多种含义, 但每种范畴化都是提升范畴层级的过程. 所谓范畴层级大致就是指 $(n,r)$-范畴中的整数 $r$.

逆范畴化的反向过程

范畴化是一个模糊的概念, 而逆范畴化 (decategorification) 有清晰的含义:

在 $1$-范畴中, 取对象的等价类, 得到一个集合;
在一般的高阶范畴中, 去掉高阶不可逆态射, 并将高阶的等价截断, 得到较低阶的范畴.

当高阶范畴具有额外的代数结构 (如幺半结构) 时, 其逆范畴化仍保留相应结构.

如果能将上述操作 “反向”, 即由带结构的低阶范畴开始, 找到一个带结构的高阶范畴, 其逆范畴化是已知的结构, 则可将该过程称为范畴化.

走向 $\mathsf{Cat}$ 的内部

有另一种范畴化的思路, 可以理解为: 将 “集合” 替换为 “范畴”, 重新做一遍熟悉的事情. 更准确地说即是在 $\mathsf{Cat}$ 的内语言中工作.

例如幺半范畴就是 $\mathsf{Cat}$ 中的结合代数. 那么对于普通的结合代数能够谈论的事情, 对于幺半范畴基本上也能谈论: 例如我们可以谈论幺半范畴上的模, 它不过是一种结合代数上的模.

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百科. Brauer 群 [Brauer群]

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观念

概形的 Brauer 群是其上 Azumaya 代数的相似类在张量积下构成的群; Azumaya 代数 $A$ 在 Morita 范畴中可逆; 因此其上的模范畴 $\mathsf{Mod}(A)$ 是可逆线性范畴.

向量丛的自同态丛是 Azumaya 代数, 其对应的 Brauer 类平凡.

Brauer groups and Azumaya algebras play an important role in many areas of mathematics, but especially in arithmetic geometry, algebraic geometry, and applications to mathematical physics. In arithmetic geometry, they are closely related to Tate’s conjecture on l-adic cohomology of schemes over finite fields, and they play a critical role in studying rational points of varieties through, for example, the Brauer Manin obstructions to the Hasse principle. In algebraic geometry, Azumaya algebras arise naturally when studying moduli spaces of vector bundles, and Brauer classes appear when considering certain constructions motivated from physics in homological mirror symmetry. The Brauer group was also used by Artin-Mumford (AM72) to construct one of the first examples of a non-rational unirational complex variety.

定义

域

域 $K$ 的 Brauer 群 $\mathrm{Br}(K)$ 是其上的中心单代数的相似类关于张量积构成的群, 也即上同调 $$ H^2(\operatorname{Gal}(K_{\mathrm{sep}}/K),K^*_{\mathrm{sep}}) = H^2(\operatorname{Spec}K_{\mathrm{et}},\mathbb G_{\mathrm{m}}). $$

设 $A,B$ 为 $K$ 上的有限维中心单代数, 若存在 $n,m\in\mathbb{Z}_+$ 使得 $M_n(A)\simeq M_m(B)$ (作为 $K$-代数), 则称 $A$ 与 $B$ 相似.

$A$ 与 $B$ 相似当且仅当存在可除代数 $D$ 使得 $A,B$ 均为 $D$ 上的矩阵代数.

例. $\mathrm{Br}(\mathbb{R})\simeq \{[\mathbb{R}],[\mathbb H]\}$. $\mathbb H\otimes\mathbb H\simeq M_4(\mathbb{R})$.

例. 有限域的 Brauer 群平凡, 因为有限除环都是域.

环

与模范畴的关系

设 $R$ 为交换环, 考虑 $2$-范畴 $\mathsf{Alg}_R$, 其对象为 $R$-代数 (即 $R$-模范畴中的幺半群), 态射为双模, 态射的复合为张量积, $2$-态射为双模的同态.

考虑 $\mathsf{Alg}_R$ 的核 $\mathrm{Core}(\mathsf{Alg}_R)$, 其对象为 $R$-代数, 态射为 Morita 等价, $2$-态射为双模的同构.

This may be understood as the $2$-groupoid of (generalized) line $2$-bundles over $\operatorname{Spec}R$, inside that of all $2$-vector bundles.

$\pi_0(\mathbf{Br}(R))$ 为 $R$ 的 Brauer 群;
$\pi_1(\mathbf{Br}(R))$ 为 $R$ 的 Picard 群;
$\pi_2(\mathbf{Br}(R))$ 为 $R$ 的乘法可逆元群.

平展上同调的定义

在一些小的假设下, 概形 $X$ 的 Brauer 群 $\mathrm{Br}(X)$ 同构于平展上同调 $H^2_{\text{\'et}}(X,\mathbb G_m)$ 的挠部分. 见平展上同调讨论班讲义.

“范畴化” 的定义

Brauer 群某种意义上是 Picard 群的范畴化.

对于概形 $X$ 可以谈论 “$X$ 上的拟凝聚叠”, 又叫 “$X$-线性稳定 ∞-范畴”; 其构成的范畴记为 $\mathsf{Cat}_X$. 一个与 Brauer 群相关的群是所谓 “导出 Brauer 群”, 定义为 $\mathsf{Cat}_X$ 的 Picard 群 $$ \mathrm{Br}^{\mathrm{der}}(X) := \operatorname{Pic}(\mathsf{Cat}_X). $$

性质

代数闭域的 Brauer 群是平凡群.

百科. Hecke 范畴 [Hecke范畴]

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观念

对于约化群 $G$ 的 Borel 子群 $B$, Hecke 范畴大致是 “双商叠” $$ B \backslash G / B = \mathbf{B}B\times_{\mathbf{B}G} \mathbf{B}B $$ 上的层范畴 $$ \mathcal H = \mathsf{Sh}(B \backslash G / B). $$ 其中 $\mathsf{Sh}$ 是某个层理论, 例如 D-模. 因此 Hecke 范畴是 Hecke 代数的范畴化.

更一般地 (参考 Ben-Zvi–Nadler), 对叠的映射 $f\colon X\to Y$, 可定义 Hecke 范畴 $$ \mathcal H = \mathsf{Sh}(X\times_Y X), $$ 由 $X\times_Y X\times_Y X$ 到 $X\times_Y X$ 的三个投影映射的推前-拉回可定义 $\mathcal H$ 上的一种卷积.

性质

卷积

百科. Schur 函子 [Schur函子]

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观念

Schur 函子是一系列函子 $S^\lambda\colon \mathsf {Mod}(R)\to \mathsf{Mod}(R)$, 它将 $R$ 模 $X$ 对应到其 $n$ 次张量积中 $S_n$ 作用下以一定规律 (即对称群的表示) 变换的子模. 例如对称幂 $\operatorname{Sym}^n X$ 和交错幂 $\wedge^n X$ 都是 Schur 函子.

Schur 函子是 Schur 多项式的范畴化.

定义

具体版本

设 $X$ 是向量空间, $\lambda$ 是 Young 图(表).

考虑 $X^{\otimes n}$, 每个部分对应 Young 图的一个方块. 取出其中交换同一行的任何两部分都不变的子空间; 然后投影到其中交换同一列的任何两部分都变号的商空间; 所得的就是 $S^\lambda X$.

抽象版本

使用群代数 $\mathbb{C}[S_n]$, 我们可以更抽象地给出 $S^\lambda$ 的定义.

我们可以将 “对每一行对称化” 的操作视为元素 $p_\lambda^S \in \mathbb{C}[S_n]$, “对每一列反称化” 的操作视为元素 $p_\lambda^A\in\mathbb{C}[S_n]$. 定义 Young 对称化子 $$ p_\lambda = p_\lambda^A p_\lambda^S\in\mathbb{C}[S_n], $$ 于是 $$ S^\lambda X = p_\lambda (X^{\otimes n}). $$ 注意 $p_\lambda^A$ 和 $p_\lambda^S$ 都是幂等算子, 但它们不交换. 事实上, $p_\lambda$ 只差一个常数就是幂等算子.

进一步, 由于 $p_\lambda$ 作用在 $\mathbb{C}[S_n]$ 上给出 $S_n$ 的不可约表示 $V_\lambda$ (见对称群的表示), 故 Schur 函子可写为 $$ S^\lambda X = V_\lambda \otimes_{\mathbb{C}[S_n]} X^{\otimes n}. $$ 甚至我们可以对 $S_n$ 的任何表示 $V$ 定义函子 $S_V$.

例

对于 $\lambda = (n)$, 即一行的 Young 图, $S^\lambda E = \operatorname{Sym}^n E$;

对于 $\lambda = (1,\cdots,1)$, 即一列的 Young 图, $S^\lambda E = \wedge^n E$;

非数学. 综合数学是抽象代数的范畴化 [synthetic]

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2026-02-13

碎碎念. 这篇文章是关于数学的, 但实在太难说它本身是数学, 姑且贴上个 “非数学” 的标签, 以免受人诟病——即便身负数学严格性的重担的人, 当然也是有资格写 “非数学” 散文的. 我写这篇文章的主要目的是为综合数学 “正名”. 但它并未被 “打倒” (实则是并未被关注), 故谈不上真正的正名; 它只是在我个人的经历中, 在登上大雅之堂的途中受到了一点阻碍, 并且消磨了我对它的热情; 而随着阅历更加丰富, 我在对几篇笔记的偶然反刍之下, 对它产生了新的见解, 不得不记录下来, 好给过去与未来的自己一个交代. 但我写这篇文章的理由未必是读者读这篇文章的理由; 站在读者的立场, 这些事情就不必赘述了.

我打算不以综合数学的玄而又玄的讨论来开启这篇文章, 而是谈论些众所周知的事情. ——我们来谈论抽象代数的起源. 我们的目的不是复原历史的脉络, 而是从现代人的视角来反思抽象代数这个学科存在的理由, 然后对这个理由作一种合理的演绎 (如文章的题目所示, 这种演绎叫做范畴化), 来得到综合数学这门学科存在的理由, 这便是我想要记录的新的见解.

所谓代数最初即是在数的运算中, 用符号来代替数的做法. 它最初仅仅是一个从特殊到一般的过程——我们发现 $$ (3+5)^2 = 3^2 + 2\cdot 3\cdot 5 + 5^2, $$ $$ (4+6)^2 = 4^2 + 2\cdot 4\cdot 6 + 6^2, $$ 于是我们用符号代替一些具体的元素, 写成如下形状的公式, $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, $$ 来表达对任何数普遍成立的规律.

然而随着数学的成熟, 一个细微的观念转变发生了——它是如此细微, 以至于学习现代数学多年的读者们可能都忘了这是一场变革: 用来表示 “一般元素” 的符号 $a,b$, 可以不再表示任何一个具体的元素, 而是变成了完全抽象的, 但仍旧遵循同样规律的东西. 我们开始操作带有这些抽象符号 $a,b$ 的等式, 而不在乎符号之下的内涵, 或者说真正的内涵已经不在那里了: 我们从对具体元素的研究转向了对规律本身的研究.

于是, “代数” 的概念产生了. 一个代数是一些元素的集合, 元素之间可作加法, 乘法等运算, 满足交换律, 结合律, 分配律等性质. 如果仅研究这些运算的规律, 而不依赖于参与运算的元素具体的构造, 那么我们作出的论证就适用于任何一个代数. (若读者有微分几何的相关经验: 这就像是微分几何中若不使用坐标进行计算, 那么计算的结果就适用于任何坐标.) 放弃对一个锚定的具体事物的追求, 反而换来了特殊化到所有具体事物的机会.

学习现代数学多年的读者们, 可能难以体会 “代数” 这样的概念对一个仅学过实数的运算的人有多么陌生. 困难并不在于人的智力不能理解代数的定义, 而在于他们长久以来的信念的动摇: 原来我所认识的这个数的系统不是唯一存在的, 唯一合理的数的系统; 事实恰恰相反, 这种系统要多少就有多少. 例如在一个代数中, 我们可以随心所欲地加入一个满足指定的代数方程的元素. 回想历史上人们对虚数 $i$ 的引入曾产生多么大的抵触: 在实数中加入一个满足 $i^2 = -1$ 的元素, 而这个方程在实数中没有任何道理. 人们不是不能对这个方程进行运算, 而是不能接受自古以来熟悉的系统, 实数的代数 $\mathbb{R}$, 被外来者污染, 以至于失去它不可撼动的地位.

当然, 现在的人们早已不再对各式各样的代数产生恐慌. 复代数几何的基础 $\mathbb{C}$, $p$-进几何的基础 $\mathbb{Z}_p$, 已经是每一个数学家如数家珍的代数对象. 人们研究的代数中的运算也不断丰富, Lie 代数, Poisson 代数, Hopf 代数, … 这些结构在各自的领域中发光发热.

总结从研究实数的运算到研究抽象代数发生的观念转变:

一个代数是一个带有结构的集合, “实数” 不过是那个特殊的代数 $\mathbb{R}$ 的元素;
通过四则运算, 我们不仅是在研究实数的规律, 而且可以研究任何代数中的规律, 不依赖于这些集合中元素的具体形式.

现在提升一个范畴层级, 看看集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质. 它不是一个赤裸的范畴, 正如 $\mathbb{R}$ 不是一个赤裸的集合. 它的对象 (也就是集合) 之间有加法 $+$ 和乘法 $\times$ 的运算: $A+B$ 是两个集合的无交并, 其元素为 $l(a)$ 或 $r(b)$; $A\times B$ 是两个集合的积, 其元素为 $(a,b)$. 加法和乘法都有交换律, 结合律: $A+B\simeq B+A$, $(A+B)+C\simeq A+(B+C)$ 等等. 乘法对加法有分配律: $A\times (B+C) \simeq A\times B + A\times C$. 由此可得 $$ (A+B)^2 \simeq A^2 + 2 \times A\times B + B^2. $$ 很多时候我们对于集合的操作表面上是在操作集合的元素, 实际上是在操作范畴论结构. 例如, 对于映射 $f\colon A\to B$ 以及 $b\in B$, 取出 $A$ 中满足 $f(a) = b$ 的元素 $a$ 构成的集合 $S = \{a\in A\mid f(a) = b\}$, 实际上是在做范畴论中名为拉回的操作: $$ \begin{array} {ccc} S & \to & 1\\ \downarrow & & \downarrow\\ A & \underset{f}{\to} & B. \end{array} $$ 由此可见, 只要一个范畴中具有拉回, 那么 $\{a\in A\mid f(a) = b\}$ 这样的表达式就有意义, 而不需要对象 $A$ 真的是由一个一个的元素组成.

任意量词 $\forall$ 和存在量词 $\exists$ 也不是只在集合范畴中有意义. 它们分别是依值积, 依值和的特例, 而这两者分别是拉回操作 $\mathcal{C}_{/Y} \to \mathcal{C}_{/X}$ 的左右伴随. (更一般地, 每种类型论都有与之相应的范畴论结构. 见三位一体.)

经过如此多的铺垫, 如果我现在告诉读者, 我们自古以来熟悉的这个集合范畴, 并不是唯一存在的, 唯一合理的 “集合的范畴”, 我们使用的数学语言描述的不一定是集合, 而可能是任何适当结构的范畴的对象, 不知读者是否还会像只熟悉实数的古人见到虚数那样感到恐慌.

更关键的是, 就像在抽象代数中我们不需要关心集合中的元素的具体构造一样, 在综合数学中我们不需要关心范畴中的对象的具体构造, 这便是综合数学的核心观念; 这种观念无非是抽象代数的核心观念的一次范畴化.

将集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的性质抽象出来, 得到一种允许通常数学语言在其中获得语义的范畴的概念, 这就是意象.

在以意象理论为主要表现方式的综合数学中,

一个意象是一个带有结构的范畴, “集合” 不过是那个最基本的意象 $\mathsf{Set}$ 的对象;
通过一阶逻辑, 我们不仅是在研究集合的规律, 而且可以研究任何意象中的规律, 不依赖于这些范畴中对象的具体形式.

我们认为的 “带结构的集合”, 不过是最基本的意象 $\mathsf{Set}$ 中的结构; 而同样的结构发生在任何一个意象中.

换言之, 随着范畴层级的提升, 我们发现自己从那个 “思想开放” 的 “现代人”, 变成了 “抱残守缺” 的 “古人”.

综合数学的一个出现较早的分支是综合微分几何. 它的理论是这样建立的: 首先规定存在一个对象, 称为直线 $R$; 它具有 $0,1$, 加法和乘法, 构成一个代数. 定义一阶无穷小线段 $D$ 是 $R$ 中平方为零的元素的 “集合” $$ D = \{x\in R \mid x^2 = 0\}. $$ 一条重要的公理是: 对任意函数 $f\colon D\to R$, 存在唯一的 $a,b\in R$ 满足对任意 $d\in D$, 有 $f(d) = ad+b$. 对任意 “集合” $M$, 定义其切向量为映射 $v\colon D \to M$; 定义 $M$ 的切丛为 $M^D \to M,v\mapsto v(0)$. 微分几何最重要的概念就这样产生了.

如果认为上述理论谈论的是普通的集合范畴, 就会发现它简直是天方夜谭. 实直线上平方为零的元素只有 $0$, 又怎能表达切向量这样的概念呢? 感兴趣的读者可以进一步阅读综合微分几何讲稿. 结论是, 我们应当认为综合微分几何谈论的是一种满足特定条件的意象中的对象. 综合数学的每一个分支, 都可视为对所讨论的意象作某种约束. 任何一个满足约束的意象都可以作为这个学科的模型, 而这个学科所产生的定理在所有模型中同样成立.

我将目前的类比总结成一个表格.

范畴层级	0	1
对象	实数	集合
语言	四则运算	一阶语言
全体对象	实数的全体 $\mathbb{R}$	集合的全体 $\mathsf{Set}$
抽象概念	代数 = 带结构的集合	意象 = 带结构的范畴¹
约束	代数方程	公理

其实一个范畴构成一个意象这件事是性质而非结构. 不过这里的结构与 “积幺半结构” 中的结构是同一种用法.

表格有没有可能向右延申? 有没有可能, 范畴的 $2$-范畴 $\mathsf{Cat}$ 不是唯一合理的 “范畴的范畴”, 而是所有的范畴论语言都可以在一个 “$2$-意象” 中解读? 这种语言该如何设计? 我不知道.

百科. 余端 [余端]

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观念

余端是端的对偶概念.

对于函子 $F\colon \mathcal C\to \mathsf{Set}$, $G\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, 余端 $$ \int_{c\in\mathcal C} F(c) \times G(c) $$ 可视为可测空间上的函数对测度积分的类比或范畴化, 其中 $F$ 是 “被积函数”, $G$ 是 “测度”. 这个余端也可理解为代函子 $F\colon 1\to \mathcal C$ 与 $G\colon \mathcal C\to 1$ 的复合, 也即模的张量积. (当然, 这里的范畴也可以改成 $\mathcal V$-充实范畴, $\mathsf{Set}$ 改成 $\mathcal V$.)

$G = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,X)$ 是 “delta 分布” 的类比, $$ \int_{c\in \mathcal C} F(c) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,X) \simeq F(X). $$

例

百科. 单子 [单子]

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观念

单子 (monad) 是一种具有许多理解方式的对象, 很难说哪种理解最为基本:

范畴 $\mathcal C$ 上的单子是自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 中的结合代数; 在这种意义上它是结合代数的范畴化.
幺半范畴 $\mathcal C$ 中的一个结合代数 $A$ 给出 $\mathcal C$ 上的一个单子 $A\otimes(-)$; 在这种意义上单子是结合代数的推广; 单子上的模 (或叫单子上的代数) 是结合代数上的模的推广.
单子是代数理论的推广. 许多代数结构可理解为某个单子上的代数; 此时这个单子给出 “自由代数”. 这件事可由单子性函子描述.
在 $2$-范畴的理论中, 单子可视为 $1$ 到 $\mathsf{Cat}$ 的松函子, 从而进一步推广为 $1$ 到一般的 $2$-范畴的松函子.

定义

自函子范畴中的结合代数

一个范畴 $\mathcal C$ 上的单子是其自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 中的结合代数. 对偶范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上的单子称为 $\mathcal C$ 上的余单子.

更具体地, 一个 ($1$-)范畴 $\mathcal C$ 上的单子是一个函子 $T\colon \mathcal C\to\mathcal C$, 带有自然变换 $\eta\colon \mathrm{id}\to T$, $\mu\colon T^2\to T$, 且有两个自然变换 $T^3\to T$ 之间的同构.

当然, 上述定义中的 $\mathcal C$ 也可设为任何 $2$-范畴的对象.

松 2-函子

等价的定义是, 单子为 $2$-范畴之间的松函子 $$ 1\to \mathsf{Cat}. $$ 一般地, $2$-范畴 $\mathcal C$ 内的一个单子定义为松函子 $1 \to \mathcal C$ (注意区分一个对象上的单子与一个 $2$-范畴内的单子).

性质

Kleisli 范畴

对范畴 $\mathcal C$ 上的单子 $T$, 有一个范畴, 称为 Kleisli 范畴 $\mathsf{Kl}$,

其对象为 $\mathcal C$ 的对象,
$\mathsf{Kl}$ 中的态射 $X\to Y$ 为 $\mathcal C$ 中的态射 $X\to TY$,
$\mathsf{Kl}$ 中的态射 $X\to Y$, $Y\to Z$ 的复合为 $\mathcal C$ 中的如下复合: $$ X \to TY \to TTZ \overset{\mu}{\to} TZ. $$

例

伴随给出单子

任何一对函子 $L\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $R\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间的伴随 $L\dashv R$ 都给出一个单子 $RL\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 与一个余单子 $LR\colon \mathcal D\to\mathcal D$. 见伴随给出单子. 事实上任何单子都是某一对伴随给出的.

Set 上的单子

考虑带基点集合 $\mathsf {Set}_*$ 到 $\mathsf {Set}$ 的遗忘函子, 其对应的自由函子 (左伴随) 是对集合添加一个新的点作为基点. 这对伴随的单位 $\operatorname{id}_{\mathsf {Set}}\to RL$ 是对集合添加一个新的点. 这在计算机科学中称作可能单子 (maybe monad).

固定集合 $S$, 称为状态集合 (set of states), 张量-同态伴随 $(S\times)\dashv (-)^S$ 的单位 $(S\times -)^S$ 称为状态单子 (state monad).

结合代数

设 $A$ 是幺半范畴 $(\mathcal C,\otimes)$ 中的结合代数, 则有单子 $A\otimes(-)\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 以及 $(-)\otimes A\colon \mathcal C\to\mathcal C$. 这是因为 $$ A \mapsto (A\otimes (-)) \colon \mathcal C \to \operatorname{End}(\mathcal C) $$ 是幺半函子, 从而将结合代数 $A$ 变为单子.

例. 增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 中的对象 $[0]$ 是游走的结合代数. 与该结合代数作张量积的函子 $[0] \otimes - \colon \Delta_+ \to \Delta_+$ 等同于对全序集添加一个最小元, $-\otimes [0] \colon \Delta_+ \to \Delta_+$ 则是添加一个最大元.

偏序集上的单子

偏序集 $(P,\leq)$ 上的单子 $T\colon P\to P$ 须满足 $x\leq Tx$, $T^2 = T$. 这种映射又叫 “闭包算子”. 例如拓扑空间的开集的偏序集 $\operatorname{Open}(X)$ 上的闭包运算是一个单子.

另见 Lawvere–Tierney 拓扑.

百科. 双边杠构造 [双边杠构造]

SimplicialCat

观念

如果说单子是结合代数的范畴化, 那么双边杠构造就是结合代数上的模的相对张量积的范畴化.

双边杠构造是杠构造 (bar construction) 的推广.

定义

设 $T$ 为范畴 $\mathcal C$ 上的单子. 对于 $T$ 上的左模 $X\colon I\to\mathcal C$ 与右模 $Y\colon \mathcal C\to J$, 双边杠构造是 $\mathsf{Fun}(I,J)$ 中的单纯对象 $$ B(Y,T,X) = (\cdots YTTX \to^3 YTX \rightrightarrows YX). $$

例

伴随的典范双边杠构造

对于函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间的一对伴随 $F\dashv G$ 给出的单子 $T = GF$,

$F$ 有典范的 $T$-右模结构 $FT=FGF \to F$,
$G$ 有典范的 $T$-左模结构 $TG=GFG \to G$.

因此伴随 $F\dashv G$ 给出典范的双边杠构造 $$ B(F,T,G) = (\cdots FGFGFG \to^3 FGFG \rightrightarrows FG). $$

分解同调

记 $D_n$ 为 $\mathbb E_n$-算畴对应的单子. 对于 $n$ 维标架流形 $M$, 记 $D_M$ 为对称序列 $\{\operatorname{Emb}(\sqcup_k\mathbb{R}^n,M)\}$ 对应的函子, 则 $D_M$ 为单子 $D_n$ 上的右模:

$D_n X$ 的直观是 “将 $X$ 的若干元素放在 $\mathbb{R}^n$ 的不交圆盘上” 的构形的空间;
$D_M X$ 的直观是 “将 $X$ 的若干元素放在 $M$ 的不交圆盘上” 的构形的空间;
因此 $D_M D_n X$ 的一个元素的直观是 $M$ 的若干个不交圆盘, 每个之中又有若干个不交的小圆盘, 每个小圆盘上放了 $X$ 的一个元素;
映射 $D_M D_n X \to D_M X$ 直观上是将上述构形中的小圆盘直接视为 $M$ 上的圆盘, 得到 $D_M X$ 的元素.

$M$ 上取值于 $\mathbb E_n$-代数 $A$ 的分解同调可表示为双边杠构造的几何实现 $$ \int_M A = |B(D_M, D_n, A)|. $$

百科. 可逆线性范畴层 [可逆线性范畴层]

SimplicialCat

观念

可逆线性范畴层是概形上可逆层 (秩为 $1$ 的局部自由 $\mathcal{O}_X$-模) 的范畴化, 是特殊的高阶拟凝聚层, 由 Gestalt $\mathbf{B}^n\mathbb G_m$ 分类.

定义

概形 $X$ 上的可逆线性 $n$-范畴层是高阶拟凝聚层的范畴 $(n+1)\mathsf{QCoh}(X)$ 的可逆对象, 也即由 $\mathbb G_m$-控制的 $n$-束.

百科. 多项式函子 [多项式函子]

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观念

多项式函子是多项式函数 (形式幂级数) 的范畴化. 另见解析函子.

定义

设 $\mathcal C$ 为局部积闭范畴 (如意象), 固定两个对象 $X,Y\in\mathcal C$. 定义多项式函子 $\mathcal C_{/X}\to \mathcal C_{/Y}$ 为形如 $t_! p_* s^*$ 的函子, 其中 $t,p,s$ 如下图: $$ X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y $$ $t_!$ 是 $t^*$ 的左伴随, $p_*$ 是 $p^*$ 的右伴随. 直观上,

$s^*$ 是在每个 $e\in E$ 上放一个来自 $X$ 的东西,
$p_*$ 是对每个 $b \in B$ 将 $b$ 上的一堆东西相乘 (见依值积),
$t_!$ 是对每个 $y\in Y$ 将 $y$ 上的一堆东西相加 (见依值和);
因此 $t_! p_* s^*$ 就是 “拿 $X$ 个不同的东西, 每个可以拿多份, 共有 $E$ 份; 然后将这 $E$ 份分成 $B$ 组; 将每一组乘起来, 将这 $B$ 个乘积再分成 $Y$ 组, 每一组加起来”. 这正是多项式的直观, 只是这里每一项的 “次数” 以及 “项数” 都未必有限.

注. 当 $p\colon E\to B$ 的纤维离散且有限时, 所得的多项式函子是解析函子.

性质

复合

多项式的重要性质是: 多项式的复合仍是多项式. 多项式函子也是如此.

文献中记载着一种使用巨大交换图的证明 (见 Gepner–Haugseng–Kock 定理 2.1.8), 但我们使用一种类似于依值类型论的表述, 这样似乎更直观, 因为在语法的形式上, 它和 “多项式的复合仍是多项式” 的证明完全一致. 实际上这和那个巨大交换图证明说的是同一件事.

首先, 将图 $X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y$ 给出的多项式函子记为 $$ A(x) \mapsto \sum_{b\in t^{-1}(y)} \prod_{e\in p^{-1}(b)} A(s(e)). $$ 现设有两个图

$X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y$,
$Y \overset{u}{\leftarrow} F \overset{q}{\rightarrow} C \overset{v}{\rightarrow} Z$.

那么两个多项式函子的复合为 $$ A(x) \mapsto \sum_{c\in v^{-1}(z)} \prod_{f\in q^{-1}(c)} \sum_{b\in t^{-1}(u(f))} \prod_{e\in p^{-1}(b)} A(s(e)).\,\,\,\,\,(\star) $$ 我们的想法是将中间的 “和的积” 展开为 “积的和”, 从而将 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi$ 化简为 $\Sigma\Sigma\Pi\Pi$, 再化简为 $\Sigma\Pi$. $$ \begin{aligned} &\prod_{f\in q^{-1}(c)}\sum_{b\in t^{-1}(u(f))} B(b)\\ &=\sum_{g\colon (f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))}\prod_{f\in q^{-1}(c)}B(g(f)), \end{aligned} $$ 其中 $(f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))$ 是依值积类型 $\prod_{f: q^{-1}(c)}t^{-1}(u(f))$ 的简写. 于是 $(\star)$ 的右端等于 $$ \sum_{c\in v^{-1}(z),g\colon (f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))}\prod_{f\in q^{-1}(c), e\in p^{-1}(g(f))} A(s(e)). $$ 这便证明了它是多项式函子.

百科. 拟凝聚层 [拟凝聚层]

SimplicialCat

观念

概形上的拟凝聚层是环上的模的推广.

拟凝聚层的范畴 $\mathsf{QCoh}(X)$ 是代数几何中的一种代数对象 (见代数–几何对偶). 取拟凝聚层 $X \mapsto \mathsf{QCoh}(X)$ 构成一个由 (qcqs) 概形到可表现对称幺半范畴的嵌入.

拟凝聚层有高阶范畴的推广: 高阶拟凝聚层.

定义

传统

概形 $X$ 上的拟凝聚层是 $\mathcal O_X$-模 $M$, 满足在每个仿射开子概形 $\operatorname{Spec} A\hookrightarrow X$ 上等同于某个 $A$-模 $M$ 对应的模层 $\widetilde M$.

函子式

概形 $X$ 上的拟凝聚层范畴是 $$ \mathsf{QCoh}(X) := \operatorname{lim}_{\operatorname{Spec}A \to X}\mathsf{Mod}(A). $$

换言之, 仿射概形 $\operatorname{Spec}A$ 上的拟凝聚层就定义为 $A$-模; 而一般概形 $X$ 上的拟凝聚层范畴 $\mathsf{QCoh}(X)$ 是由如下左 Kan 扩张给出: $$ \begin{array}{ccc} \mathsf{Aff} & \overset{\mathsf{Mod}}{\to} & \mathsf{Cat} \\ \downarrow & \nearrow &\\ \mathsf{Sch}&& \end{array} $$ 其中 $\mathsf{Aff} \to \mathsf{Sch}$ 是米田嵌入.

性质

截面的可控奇异性

设 $X$ 为拟紧拟分离概形, $f\in\Gamma(X,\mathcal O_X)$ 为整体函数, 考虑 $f$ 不消失的开子空间 $X_f$, 则对任意拟凝聚层 $F$, $$ F(X)_f \to F(X_f) $$ 为同构. 这个事实的一种直观是, 拟凝聚层截面的奇异性总是可控的, 类似于一个亚纯函数.

百科. 解析函子 (算畴理论) [解析函子]

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解析函子是解析函数 (形式幂级数) 的范畴化, 有多个不同场合的相互关联的概念.

注意这个概念不同于 Goodwillie 演算中的解析函子.

定义

性质

与多项式函子的关系

见多项式函子.

观念. 量子化 [量子化]

SimplicialCat

量子化最早是指经典力学系统到量子力学系统的某种转变. 与范畴化类似, 量子化不是自然的, 确定的过程, 而是一种 “艺术”.

经典力学的可观测量是相互交换的, 而量子力学系统的可观测量不交换;
量子化所得的系统往往带有一个参数, 记作 $q$ 或 $h$ ($\hbar$), 这些参数的极限情形往往对应着经典力学系统.

后来, 人们用量子化指代具有上述特征的更广泛的现象.

力学系统

Since the observables in classical mechanics form a Lie algebra under Poisson bracket, what then is the corresponding Lie group? The answer to this is of course “well known” in the literature, in the sense that there are relevant monographs which state the answer. But, maybe surprisingly, the answer to this question is not (at time of this writing) a widely advertized fact that has found its way into the basic educational textbooks. The answer is that this Lie group which integrates the Poisson bracket is the “quantomorphism group”, an object that seamlessly leads to the quantum mechanics of the system.

形变量子化

百科. 高阶仿射性 [高阶仿射性]

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观念

高阶仿射性是仿射性的推广, $n$-仿射性大致是说一个几何对象 (Gestalt) 被其上某种 $n$-范畴值的层 (例如 $n$ 阶拟凝聚层) 决定.

定义

1-仿射性: 常值层-整体截面伴随

对于预叠 $X$, 有一对伴随 $\mathrm{L}_X \dashv \Gamma(X,-)$,

整体截面 $\Gamma(X,-) \colon 2\mathsf{QCoh}(X) \to \mathsf{Mod}(\mathsf{QCoh}(X))$, 其定义为 $$ \Gamma(X,F) = \lim_{S\in \mathsf{Aff}_{/X}}\Gamma(S,F), $$ 且 $\Gamma(X,F)$ 上自然带有 $\mathsf{QCoh}(X)$-模结构;
整体截面的左伴随 (“常值层”) $\mathrm{L}_X \colon \mathsf{Mod}(\mathsf{QCoh}(X)) \to 2\mathsf{QCoh}(X)$, 其定义为 $$ \Gamma(S,\mathrm{L}_X(G)) = \mathsf{QCoh}(S)\otimes_{\mathsf{QCoh}(X)} G. $$

定义 (Gaitsgory 定义 1.3.7). 若 $\Gamma(X,-)$ 与 $\mathrm{L}_X$ 互逆, 则称 $X$ 为 $1$-仿射预叠.

1-仿射性: 抽象定义

Montagnani–Pavia 对最抽象的 ∞-景上的层定义了 $1$-仿射性. 设有 ∞-景 $\mathcal C$ 上的对称幺半范畴层 $$ D \colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}), $$ 定义其范畴化为如下将 $\mathcal C$ 的对象对应到余完备范畴的函子 $$ D^{\mathrm{cat}}\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Cat}_{\mathrm{cocomp}}, $$ $$ U \mapsto \mathsf{Mod}(D(U)). $$

设 $\iota\colon \mathcal C \to \widehat {\mathcal C}$ 为稠密嵌入 (如米田嵌入), 有两种方式将 $D$ 的范畴化扩张至 $\widehat {\mathcal C}$:

先将右 Kan 扩张至 $\widehat {\mathcal C}$, 再范畴化;
先范畴化, 再右 Kan 扩张至 $\widehat {\mathcal C}$.

这两个过程所得的函子未必相同, 但对 $X\in\widehat {\mathcal C}$ 有一自然比较 $$ \mathsf{Mod}(\operatorname{RKE}_{\iota}D(X)) \to \operatorname{RKE}_{\iota} D^{\mathrm{cat}}(X). $$ 当这个比较映射为等价时, 称 $X$ 为 $1$-仿射对象.

高阶仿射性与单子性的联系

高阶仿射性可以描述为整体截面函子的单子性.

定义 (Stefanich 14.3.6, 14.3.7). 设 $n\geq 2$, 对于预叠 $X$, 若整体截面 $\Gamma(X,-)\colon (n+1)\mathsf{QCoh}(X)\to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{L}$ 单子性, 则称 $X$ 为 $n$-仿射预叠. 称预叠的态射 $f\colon X\to Y$ 为 $n$-仿射态射, 是指对任意仿射概形 $S$ 到 $Y$ 的映射, $X\times_Y S$ 为 $n$-仿射预叠.

定义 (Stefanich 14.3.8). 在 $n=1$ 的情形, 称满足如下条件的预叠 $X$ 为 $1$-仿射: 拉回函子 $\pi^*\colon \mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}_{\mathrm{st}}= 2\mathsf{QCoh}(\operatorname{Spec}(\mathbb{S})) \to 2\mathsf{QCoh}(X)$ 具有一个单子性的右伴随.

1-仿射性的判定

Gaitsgory 引入了 $1$-仿射性的一些判定条件.

例

定理 (Gaitsgory 定理 2.2.2). 对于有限型仿射代数群 $G$, 其逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 为 $1$-仿射叠.

证明的大致思路是, 约化到 $\mathrm{GL}_n$, 此时由定理 6.3.7, 仅需证明

定理 (Gaitsgory 定理 2.5.7). 对于线性空间 $V$, 视为 $\mathsf{PreStk}$ 中的 $\mathbb{E}_\infty$-群, 其高阶逆环路空间

$\mathbf{B}V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^2V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^3V$ 是 $1$-仿射叠.
$\mathbf{B}^4V$ 不是 $1$-仿射叠.

百科. 高阶可表现范畴 [高阶可表现范畴]

SimplicialCat

观念

高阶可表现范畴又称可表现 $(\infty ,n)$-范畴, 是可表现范畴的范畴化.

粗略地说 (忽略所有基数大小问题), 高阶可表现范畴的定义是 “取模范畴” 操作的迭代. 对于可表现幺半范畴 $\mathcal M$, 可定义其 (在余完备范畴的范畴 $\mathsf{Cat}_{\mathrm{cocomp}}$ 中的) “模范畴” $\mathsf{Mod}(\mathcal M)$. “可表现 $n$-范畴的范畴” $n\mathsf{Pr}$ 由下式归纳定义:

$1\mathsf{Pr} = \mathsf{Mod}(\mathsf{Ani}) = \mathsf{Pr}$,
$n\mathsf{Pr} = \mathsf{Mod}((n-1)\mathsf{Pr})$.

按上述方法定义的范畴 $n\mathsf{Pr}$ 是 $(\infty ,1)$-范畴, 但可以升级为 $(\infty ,n+1)$-范畴, 参考 Stefanich.

百科. 高阶拟凝聚层 [高阶拟凝聚层]

SimplicialCat

观念

高阶拟凝聚层是拟凝聚层的范畴化. 正如拟凝聚层是环上的模的推广, 高阶拟凝聚层也是环上的 “高阶模” 的推广.

Germán Stefanich 的博士论文发展了高阶拟凝聚层的理论.

定义

定义预叠上的 “拟凝聚 $(n-1)$-范畴层” 构成的 $n$-范畴 $$ n\mathsf{QCoh} \colon \mathsf{PreStk}^{\mathrm{op}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}} $$ 是 “$n$ 重模范畴” $$ \mathrm{Mod}^n \colon \mathsf{Aff}^{\mathrm{op}}=\mathsf{CAlg}(\mathsf{Sp})_{\mathrm{conn}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}} $$ 沿米田嵌入 $\mathsf{Aff}\to \mathsf{PreStk}$ 的右 Kan 扩张, 从而 $$ n\mathsf{QCoh}(X) = \operatorname{lim}_{S\in\mathsf{Aff}_{/X}}n\mathsf{QCoh}(S) $$

性质

拉回与推前

高阶拟凝聚层的拉回, 推前等等操作可体现为关系 $n$-范畴 $n\mathsf{Corr}(\mathsf{Aff})$, $n\mathsf{Corr}(\mathsf{PreStk})$ 出发的函子.

定理 (仿射概形的情形, Stefanich 定理 14.1.4). 函子 $n\mathsf{QCoh}\colon \mathsf{Aff}^{\mathrm{op}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}}$ 升级为对称幺半函子 $$ (n+1)\mathsf{Corr}(\mathsf{Aff}) \to (n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}})^{(n+1)\text{-}\mathrm{op}}. $$

定理 (预叠的情形, Stefanich 定理 14.2.9). 对于 $n\geq 2$, 函子 $n\mathsf{QCoh}\colon \mathsf{PreStk}^{\mathrm{op}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}}$ 升级为 $$ n\mathsf{Corr}(\mathsf{PreStk}) \to (n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}})^{(n+1)\text{-}\mathrm{op}}. $$

下降

定理. 对于 $n\geq 1$, 函子 $n\mathsf{QCoh} \colon \mathsf{Aff}^{\mathrm{op}} \to n\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}}$ 是平展拓扑的层.

整体截面

对仿射概形 $X$, 沿其到终对象的映射 $X\to \operatorname{Spec}(\mathbb S)$ 的推前称为 “整体截面” 函子 $$ \Gamma(X,-) \colon n\mathsf{QCoh}(X) \to (n-1)\mathsf{Pr}_{\mathrm{st}}^{\mathrm{L}} $$

有一个术语衡量一个预叠 $X$ 上的高阶拟凝聚层的整体截面能否决定 $X$ 的所有几何信息, 称为高阶仿射性.

百科. 高阶模 [高阶模]

SimplicialCat

观念

高阶模是 “环上的模” 这一概念的范畴化.

正如环 $A$ 上的模是其谱 $\operatorname{Spec} A$ 上的拟凝聚层, 环 $A$ 上的高阶模是 $\operatorname{Spec} A$ 上的高阶拟凝聚层.

定义

一般地, 交换代数 $A$ 上的模范畴 $\mathsf{Mod} (A)$ 仍是交换代数, 从而可以继续考虑其上的模. 环 $A$ 上的 $n$ 阶模范畴便是 “取模范畴” 操作的 $n$ 次迭代: “$\mathsf{Mod}^n (A) = \mathsf{Mod} (\mathsf{Mod}^{n-1} (A))$”.

为了明确上述定义所在的范畴, 我们需要高阶可表现范畴的概念. 记 $n\mathsf{Pr}$ 为可表现 $n$-范畴的范畴.

环上的高阶模范畴

约定. 这里的 $n$-范畴是指 $(\infty ,n)$-范畴, 环是指 E∞-环, 环上的模范畴 $\mathsf{Mod}(A)$ 在传统情形中称为导出范畴 $D(A)$. 暂且忽略基数的大小问题.

定义 ($A$-线性可表现范畴). 对于交换环 $A$, 考虑 $A$-模范畴 $\mathsf{Mod}(A) \in \mathsf{CAlg}(1\mathsf{Pr})$. 定义 “$A$-线性可表现范畴” 构成的对称幺半可表现 $2$-范畴 $$ 1\mathsf{Pr}_A = \mathsf{Mod}_{1\mathsf{Pr}}(\mathsf{Mod}(A)) \in \mathsf{CAlg}(2\mathsf{Pr}), $$ 归纳地定义 “$A$-线性可表现 $n$-范畴” 构成的对称幺半可表现 $(n+1)$-范畴 $$ n\mathsf{Pr}_A = \mathsf{Mod}_{n\mathsf{Pr}}((n-1)\mathsf{Pr}_A)\in \mathsf{CAlg}((n+1)\mathsf{Pr}). $$

可表现范畴上的高阶模范畴

定义 ($C$-线性可表现范畴). 更一般地, 对于 $C \in \mathsf{CAlg}(1\mathsf{Pr})$, 也可定义 $$ 1\mathsf{Pr}_C = \mathsf{Mod}_{1\mathsf{Pr}}(C) \in \mathsf{CAlg}(2\mathsf{Pr}), $$ 并归纳定义 $$ n\mathsf{Pr}_C = \mathsf{Mod}_{n\mathsf{Pr}}((n-1)\mathsf{Pr}_C) \in \mathsf{CAlg}((n+1)\mathsf{Pr}). $$