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furina

百科. 偏序集 [偏序集]

SimplicialCat

观念

定义

偏序集是充实于真值的范畴.

反向链接

百科. Galois 对应 [Galois对应]

SimplicialCat

定义

Galois 对应是偏序集之间的伴随.

例

Galois 理论

取整

对于实数 $x$, 记 $\operatorname{floor}(x)$ 为不超过 $x$ 的最大整数. 那么 $\operatorname{floor}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ 是嵌入映射 $\iota \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ 的右伴随: $$ x\leq \operatorname{floor}(y)\ \Leftrightarrow\ \iota(x)\leq y $$

性质

等价

范畴论有一个一般性的结论, 一对伴随诱导满子范畴的等价; Galois 对应中的等价是其特例. 具体见伴随.

百科. Heyting 代数 [Heyting代数]

SimplicialCat

观念

Heyting 代数是直觉主义命题演算的模型.

定义

Heyting 代数是一个偏序集, 存在所有有限的积和余积, 且构成积闭范畴. 换言之, Heyting 代数中有 $0$, $1$, 指数对象 $y^x$ (通常记作 $x\Rightarrow y$), 而指数对象由如下的伴随关系刻画: $$ z\leq (x\Rightarrow y) \quad \text{iff} \quad z\wedge x \leq y. $$

性质

由基本伴随关系, 可得 (实际上是伴随的单位和余单位态射) $$ x\leq \big( y\Rightarrow (x\wedge y) \big),\quad y\wedge (y\Rightarrow x) \leq x. $$ 而由 $1^x\simeq 1$, $x^1\simeq x$ 可得 $$ (x\Rightarrow 1) =1,\quad (1\Rightarrow x) =x. $$ 由于函子 $x\Rightarrow -$ 有右伴随, 它保持极限, 即 $$ (x\Rightarrow (y\wedge z)) = \big( (x\Rightarrow y) \wedge (x \Rightarrow z)\big). $$ 等式 $x^{y\times z}\simeq (x^y)^z$ 成为 $$ ((y\wedge z)\Rightarrow x) = (z\Rightarrow (y\Rightarrow x)). $$

例

对拓扑空间 $X$, 其上开集构成的偏序集为 Heyting 代数. 对于开集 $U, V$, $$ (U \Rightarrow V) = \bigcup_{W\cap U\subset V} W. $$ 每个 Boole 代数都是 Heyting 代数, 反之则不然.

参考资料

盲人摸象 1.3 节

百科. (n,r)-范畴 [n-r-范畴]

SimplicialCat

定义

$(n,r)$-范畴是满足如下条件的高阶范畴:

其任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点;
其任何 $r$ 阶态射范畴为生象.

注. 不妨要求 $r\leq n+1$, 因为若任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点, 则任何 $(n+1)$ 阶态射范畴为生象.

例

$(-1,0)$-范畴是命题.
$(0,0)$-范畴是集合.
$(0,1)$-范畴是偏序集.
$(1,1)$-范畴就是通常说的 “范畴”.
$(\infty,0)$-范畴是生象.
$(\infty,1)$-范畴是通常说的 “无穷范畴”.

百科. 全序集 [全序集]

SimplicialCat

定义

全序集是每两个元素之间都有序关系的偏序集.

百科. 单子 [单子]

SimplicialCat

观念

单子 (monad) 是一种具有许多理解方式的对象, 很难说哪种理解最为基本:

范畴 $\mathcal C$ 上的单子是自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 中的结合代数; 在这种意义上它是结合代数的范畴化.
幺半范畴 $\mathcal C$ 中的一个结合代数 $A$ 给出 $\mathcal C$ 上的一个单子 $A\otimes(-)$; 在这种意义上单子是结合代数的推广; 单子上的模 (或叫单子上的代数) 是结合代数上的模的推广.
单子是代数理论的推广. 许多代数结构可理解为某个单子上的代数; 此时这个单子给出 “自由代数”. 这件事可由单子性函子描述.
在 $2$-范畴的理论中, 单子可视为 $1$ 到 $\mathsf{Cat}$ 的松函子, 从而进一步推广为 $1$ 到一般的 $2$-范畴的松函子.

定义

自函子范畴中的结合代数

一个范畴 $\mathcal C$ 上的单子是其自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 中的结合代数. 对偶范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上的单子称为 $\mathcal C$ 上的余单子.

更具体地, 一个 ($1$-)范畴 $\mathcal C$ 上的单子是一个函子 $T\colon \mathcal C\to\mathcal C$, 带有自然变换 $\eta\colon \mathrm{id}\to T$, $\mu\colon T^2\to T$, 且有两个自然变换 $T^3\to T$ 之间的同构.

当然, 上述定义中的 $\mathcal C$ 也可设为任何 $2$-范畴的对象.

松 2-函子

等价的定义是, 单子为 $2$-范畴之间的松函子 $$ 1\to \mathsf{Cat}. $$ 一般地, $2$-范畴 $\mathcal C$ 内的一个单子定义为松函子 $1 \to \mathcal C$ (注意区分一个对象上的单子与一个 $2$-范畴内的单子).

性质

Kleisli 范畴

对范畴 $\mathcal C$ 上的单子 $T$, 有一个范畴, 称为 Kleisli 范畴 $\mathsf{Kl}$,

其对象为 $\mathcal C$ 的对象,
$\mathsf{Kl}$ 中的态射 $X\to Y$ 为 $\mathcal C$ 中的态射 $X\to TY$,
$\mathsf{Kl}$ 中的态射 $X\to Y$, $Y\to Z$ 的复合为 $\mathcal C$ 中的如下复合: $$ X \to TY \to TTZ \overset{\mu}{\to} TZ. $$

例

伴随给出单子

任何一对函子 $L\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $R\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间的伴随 $L\dashv R$ 都给出一个单子 $RL\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 与一个余单子 $LR\colon \mathcal D\to\mathcal D$. 见伴随给出单子. 事实上任何单子都是某一对伴随给出的.

Set 上的单子

考虑带基点集合 $\mathsf {Set}_*$ 到 $\mathsf {Set}$ 的遗忘函子, 其对应的自由函子 (左伴随) 是对集合添加一个新的点作为基点. 这对伴随的单位 $\operatorname{id}_{\mathsf {Set}}\to RL$ 是对集合添加一个新的点. 这在计算机科学中称作可能单子 (maybe monad).

固定集合 $S$, 称为状态集合 (set of states), 张量-同态伴随 $(S\times)\dashv (-)^S$ 的单位 $(S\times -)^S$ 称为状态单子 (state monad).

结合代数

设 $A$ 是幺半范畴 $(\mathcal C,\otimes)$ 中的结合代数, 则有单子 $A\otimes(-)\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 以及 $(-)\otimes A\colon \mathcal C\to\mathcal C$. 这是因为 $$ A \mapsto (A\otimes (-)) \colon \mathcal C \to \operatorname{End}(\mathcal C) $$ 是幺半函子, 从而将结合代数 $A$ 变为单子.

例. 增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 中的对象 $[0]$ 是游走的结合代数. 与该结合代数作张量积的函子 $[0] \otimes - \colon \Delta_+ \to \Delta_+$ 等同于对全序集添加一个最小元, $-\otimes [0] \colon \Delta_+ \to \Delta_+$ 则是添加一个最大元.

偏序集上的单子

偏序集 $(P,\leq)$ 上的单子 $T\colon P\to P$ 须满足 $x\leq Tx$, $T^2 = T$. 这种映射又叫 “闭包算子”. 例如拓扑空间的开集的偏序集 $\operatorname{Open}(X)$ 上的闭包运算是一个单子.

另见 Lawvere–Tierney 拓扑.

百科. 格 [格]

SimplicialCat

定义

格是有二元交和二元并的偏序集.

百科. 结合代数 [结合代数]

SimplicialCat

观念

结合代数, 又叫 $\mathbb E_1$-代数, $A_\infty$-代数, 是若干元素可以有序地结合起来的结构. 给定 $n$ 个元素的有序组 $(x_1,\cdots,x_n)$, 仅有唯一的方式将它们结合起来 $x_1\cdots x_n$, 即结合的最终结果 “与加括号的方式无关”.

在结合代数的结构之上, 可以考虑 “结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_2$-代数), “结合代数中的结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_3$-代数), …, 以至于无穷. 在无穷处, $\mathbb E_\infty$-代数就是交换代数.

定义

使用算畴

结合代数可定义为结合算畴上的代数. 参见算畴.

使用语法范畴

积幺半范畴

在积幺半范畴的特殊情形, 结合代数是幺半群的 Lawvere 理论的模型, 即其语法范畴为有限生成自由幺半群的范畴的对偶, 具体地:

其对象为有限集;
态射 $\{x_1,\cdots,x_n\}\to \{y_1,\cdots,y_m\}$ 为形如 $y_i = f_i(x_1,\cdots,x_n)$ 的变量代换, 每个 $f_i$ 为幺半群的理论中的公式, 即 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 上的一个列表; 等价地, 一个态射是 $\{y_1,\cdots,y_m\}$ 到 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 生成的自由幺半群的一个集合映射.

那么积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数即是上述范畴到 $\mathcal C$ 的保持有限积的函子.

一般幺半范畴

在一般的幺半范畴中, 结合代数可由如下语法范畴定义:

其对象为有限全序集 (包括空集);
其态射为偏序集映射;
幺半结构为 $$ \{a_1 < \cdots < a_n\} \otimes \{b_1 < \cdots < b_m\} = \{a_1 < \cdots < a_n < b_1 < \cdots < b_m\}. $$ 注意这个幺半结构不是对称幺半结构, 不存在自然同构 $A\otimes B\simeq B\otimes A$.

该幺半范畴的底层范畴就是增广单纯形范畴 $\Delta_+$, 其中的单点集是游走的结合代数.

对称幺半范畴

在一般的对称幺半范畴中, 结合代数可由如下语法范畴定义:

其对象为有限集;
态射 $X\to Y$ 是一个集合映射 $f\colon X\to Y$ 配备每个点的原像 $f^{-1}(y)$ 的一个全序;
对称幺半结构为无交并.

这个范畴是一个 PROP.

性质

具体表现

链复形范畴中的结合代数有很具体的表现. 见 $A_\infty$-代数.