凝聚位象 [凝聚位象]

定义

对于位象 $X$, 若偏序集 $\mathcal O(X)$ 由其中的紧对象生成, 且这些紧对象关于有限交封闭, 则称 $X$ 为凝聚位象 (coherent locale). 它是凝聚意象的 $0$-意象版本.

性质

与分配格的关系

命题. 位象 $X$ 是凝聚位象, 当且仅当存在分配格 $L$ 使得 $\mathcal O(X) \simeq \mathsf{Ideal}(L)$ 是其理想的偏序集.

证明. 假设 $\mathcal O(X) = \mathsf{Ideal}(L)$. 对任意 $a\in L$, 主理想 $\downarrow(a)$ 是 $\mathsf{Ideal}(L)$ 中的紧对象. 另一方面, $\mathsf{Ideal}(L)$ 中的紧对象也都是主理想. 这说明 $X$ 为凝聚位象.

现在设 $X$ 为凝聚位象, 令 $L = \mathcal O(X)^\omega$ 为紧对象的集合, 则 $L$ 为分配格. 对任意 $U\in \mathcal O(X)$, 考虑 $L$ 中不超过 $U$ 的元素构成的理想, 这给出映射 $\mathcal O(X) \to \mathsf{Ideal}(L)$, 我们需要证明该映射为同构. 任取 $I\in\mathsf{Ideal}(L)$, 其中所有元素的并 $\bigvee I\in\mathcal O(X)$ 对应于 $I$ 自身. 反过来, 由 $X$ 的凝聚性, $\mathcal O(X)$ 的每个元素都等于不超过它的紧对象的并. $\square$

事实上, 上述命题可理解为紧生成范畴的性质在 $(0,1)$-范畴语境下的特例.

Hochster 对偶

对于凝聚位象 $X$, 定义其 Hochster 对偶 $X^\vee$ 如下: $$ \mathcal O(X^{\vee}) = \mathsf{Ideal}((\mathcal O(X)^{\omega})^{\mathrm{op}}). $$ 换言之, 设凝聚位象 $X$ 对应于分配格 $L$, 那么 $X$ 的 Hochster 对偶就是分配格 $L^{\mathrm{op}}$ 对应的凝聚位象.