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紧对象 [紧对象]

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范畴论
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定义

紧对象一般指 $\aleph_0$-可表现对象.

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高阶 Zariski 几何 [higherZar]

笔记
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本文是 ABCSS25 的阅读笔记. 在 Lurie DAG V 的基础上, 建立局部 $2$-环化意象以及相应的 Zariski 谱等概念.

用 “$2$-环” 来指代幂等完备的稳定对称幺半范畴. 记 $2$-环的范畴为 $2\mathsf{CAlg}$. 这是一个非常广泛的范畴, 包括了代数几何中许多对象:

qcqs 概形 $X$ 上的完美导出范畴 $\mathsf{Perf}_X$;
谱的范畴 $\mathsf{Sp}$ 及其变体 (等变, 母题);
非交换几何中的 Kasparov 可分 $C^*$-代数范畴;
Kontsevich 同调镜像对称猜想中的 Fukaya 范畴.

这篇文章定义了局部 $2$-环化空间, 建立了如下伴随: $$ \operatorname{Spec}\colon 2\mathsf{CAlg} \rightleftarrows \mathsf{Loc}2\mathsf{RingSp}^{\mathrm{op}} \colon \Gamma, $$ 其中右伴随部分 $\Gamma$ 是取整体截面的 $2$-环. 并且左伴随部分 $\operatorname{Spec}$ 在刚性 $2$-环的子范畴上是全忠实的; 特别地, 每个刚性 $2$-环 $\mathcal K$ 都等同于 $\operatorname{Spec}\mathcal K$ 上的结构层的整体截面的 $2$-环.

2-环

记 $\mathsf{Cat}^{\mathrm{perf}}$ 为幂等完备的小稳定范畴与正合函子构成的范畴, $\mathsf{Pr}_{\omega,\mathrm{st}}$ 为紧生成 (又叫有限表现) 稳定范畴与保持紧对象且保持余极限的函子构成的范畴. 那么两者作为对称幺半范畴有等价 $$ \mathsf{Ind}\colon \mathsf{Cat}^{\mathrm{perf}} \rightleftarrows\mathsf{Pr}_{\omega,\mathrm{st}} \colon (-)^{\omega}. $$ 其中 $(-)^{\omega}$ 表示取紧对象的子范畴.

定义 $2$-环为上述对称幺半范畴中的交换代数: $$ 2\mathsf{CAlg} := \mathsf{CAlg}(\mathsf{Cat}^{\mathrm{perf}}) \simeq \mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr}_{\omega,\mathrm{st}}). $$

理想

设 $\mathcal K$ 为 $2$-环, 定义 $\mathcal K$ 的厚张量理想 (thick tensor ideal, 简称为理想) 为满足如下条件的全子范畴 $\mathcal J$:

$\mathcal J$ 关于余纤维, 平移, 收缩封闭;
对任意 $x\in\mathcal K$ 与 $y\in\mathcal J$, 有 $x\otimes y\in\mathcal J$.

那么 $\mathcal K$ 的理想在包含关系下构成偏序集 $\mathsf{Ideal}(\mathcal K)$. 任何一族对象 $S$ 可以生成一个理想, 记为 $\langle S\rangle$. 一个对象 $x$ 生成的理想 $\langle x\rangle$ 称为主理想. 若理想 $\mathcal J$ 满足 $x\otimes x\in \mathcal J$ 蕴涵 $x\in\mathcal J$, 则称其为根理想. 任何一族对象 $S$ 生成一个根理想, 记为 $\sqrt{S}$.

$2$-环中的理想与一种局部化有关, 称为 Karoubi 商. 对于理想 $\mathcal J$, 令 $W$ 为余纤维属于 $\mathcal J$ 的态射的全体, 定义 $\mathcal K$ 关于 $\mathcal K$ 的 Karoubi 商为局部化的幂等完备化: $$ \mathcal K / \mathcal J := \mathsf{Idem}(\mathcal K [W^{-1}]). $$

命题. 对 $2$-环 $\mathcal K$, 有伴随 $$ \mathcal K/-\colon \mathsf{Ideal}(\mathcal K) \rightleftarrows 2\mathsf{CAlg}_{\mathcal K /} \colon \ker (-), $$ 换言之, 对 $\mathcal K$ 的理想 $\mathcal J$ 以及 $2$-环的态射 $f\colon \mathcal K\to\mathcal L$, 其穿过 $\mathcal K/\mathcal J$ 当且仅当 $\mathcal J$ 包含于 $\ker(f)$.

这个命题至少直观上是对的: 态射 $f$ 将 $W$ 中的态射变为同构当且仅当 $f$ 将 $\mathcal J$ 的对象映射到 $0$.

2-环的 Zariski 几何

$2$-环上的 Zariski 几何由如下资料定义:

$\mathcal G_{\mathrm{Zar}} = (2\mathsf{CAlg}^{\omega})^{\mathrm{op}}$ (注意 $2\mathsf{CAlg}$ 为紧生成范畴),
可容许态射为 Karoubi 商;
覆盖为有限个 Karoubi 商 $f_i\colon \mathcal K\to\mathcal K_i$, 满足 $\bigcap_i \ker f_i \subset \sqrt{0}$.

Balmer 谱

前述几何构造的谱能够恢复出 Balmer 谱的概念.

pro-对象 [pro-对象]

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范畴论
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观念

范畴 $\mathcal C$ 的 pro-对象是其对象的形式余滤极限.

对偶的概念是 ind-对象.

定义

通过可表函子的余滤极限

范畴 $\mathcal C$ 的 pro-对象的范畴 $$ \mathsf{Pro}(\mathcal C) \hookrightarrow \mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathsf{Set})^{\mathrm{op}} $$ 是可表函子在 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathsf{Set})^{\mathrm{op}}$ 中的余滤极限构成的全子范畴.

通过平坦函子

范畴 $\mathcal C$ 的 pro-对象的范畴也可定义为平坦函子 $\mathcal C\to\mathsf{Ani}$ (或 $\mathcal C\to\mathsf{Set}$) 的范畴的对偶: $$ \mathsf{Pro}(\mathcal C) \simeq \mathsf{Flat}(\mathcal C,\mathsf{Ani})^{\mathrm{op}}. $$

例

pro-有限集
pro-有限群

pro-同伦型

意象的形 (如平展同伦型) 是 pro-同伦型, 即 pro-生象.

性质

态射的计算

由米田引理, 对于 $X\in\mathsf{Pro}(\mathcal C)$ (视为函子 $\mathcal C\to\mathsf{Set}$) 与 $c\in\mathcal C$, $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Pro}(\mathcal C)}(X,\mathbf{y}(c))\simeq X(c). $$ 因此我们可以谈论 “$X$ 到 $c$ 的态射”, 也即 $X(c)$ 的元素.

由定义和 $\operatorname{Hom}$ 函子保持极限的性质, 可直接得到 pro-对象之间的态射的如下计算.

命题. 设 $X,Y\in\mathsf{Pro}(\mathcal C)$ 对应函子 $X,Y\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$. $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Pro}(\mathcal C)}(X,Y) \simeq \operatorname{lim}_{Y \to d}\operatorname{colim}_{X\to c} \operatorname{Hom}(c,d). $$ 其中, $X\to c$ 表示的是 $X$ 到对象 $c\in\mathcal C$ 的 “态射”, 也即 $X(c)$ 的元素.

具体证明见预层页面 “态射的计算” 小节.

自由余滤完备化

范畴 $\mathcal C$ 的 pro-对象的范畴 $\mathsf{Pro}(\mathcal C)$ 可视为向 $\mathcal C$ 中自由地添加余滤极限的结果. 这体现为如下的结论.

命题. 设 $\mathcal C$ 为范畴, $\mathcal D$ 是具有余滤极限的范畴, 有全忠实嵌入 $i\colon \mathcal C\to\mathcal D$, 且 $i$ 的像落在余紧对象的子范畴中. 那么 $i$ 可沿 $\mathcal C\to\mathsf{Pro}(\mathcal C)$ 右 Kan 扩张成为全忠实嵌入 $i\colon \mathsf{Pro}(\mathcal C) \to \mathcal D$; 对于 pro-对象 $X\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$, $$ i(X) = \operatorname{lim}_{X\to c} i(c). $$

证明. 设 $X,Y\in\mathsf{Pro}(\mathcal C)$, $$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathsf{Pro}(\mathcal C)}(X,Y) &\simeq \operatorname{lim}_{Y\to d}\operatorname{colim}_{X\to c}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,d)\\ &\simeq \operatorname{lim}_{Y\to d}\operatorname{colim}_{X\to c}\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(i(c),i(d))\\ &\simeq^* \operatorname{lim}_{Y\to d}\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(\operatorname{lim}_{X\to c}i(c),i(d))\\ &\simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(\operatorname{lim}_{X\to c}i(c),\operatorname{lim}_{Y\to d}i(d))\\ &\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(i(X),i(Y)). \end{aligned} $$ 其中标记为 $\simeq^*$ 的一步使用了 $i(d)$ 的余紧性. $\square$

上述命题的一个重要应用是将 pro-有限集与 pro-有限群视为紧 Hausdorff 空间, 因为有限离散空间是紧 Hausdorff 空间范畴 $\mathsf{CHaus}$ 中的余紧对象.

有限极限范畴

设范畴 $\mathcal C$ 具有有限极限. 那么 pro-对象 (反变地) 等同于保持有限极限的函子 $\mathcal C \to \mathsf{Ani}$, 即 $$ \mathsf{Pro}(\mathcal C) \simeq \mathsf{Fun}^{\mathrm{fin.~lim.}}(\mathcal C,\mathsf{Ani})^{\mathrm{op}}. $$

凝聚位象 [凝聚位象]

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定义

对于位象 $X$, 若偏序集 $\mathcal O(X)$ 由其中的紧对象生成, 且这些紧对象关于有限交封闭, 则称 $X$ 为凝聚位象 (coherent locale). 它是凝聚意象的 $0$-意象版本.

性质

与分配格的关系

命题. 位象 $X$ 是凝聚位象, 当且仅当存在分配格 $L$ 使得 $\mathcal O(X) \simeq \mathsf{Ideal}(L)$ 是其理想的偏序集.

证明. 假设 $\mathcal O(X) = \mathsf{Ideal}(L)$. 对任意 $a\in L$, 主理想 $\downarrow(a)$ 是 $\mathsf{Ideal}(L)$ 中的紧对象. 另一方面, $\mathsf{Ideal}(L)$ 中的紧对象也都是主理想. 这说明 $X$ 为凝聚位象.

现在设 $X$ 为凝聚位象, 令 $L = \mathcal O(X)^\omega$ 为紧对象的集合, 则 $L$ 为分配格. 对任意 $U\in \mathcal O(X)$, 考虑 $L$ 中不超过 $U$ 的元素构成的理想, 这给出映射 $\mathcal O(X) \to \mathsf{Ideal}(L)$, 我们需要证明该映射为同构. 任取 $I\in\mathsf{Ideal}(L)$, 其中所有元素的并 $\bigvee I\in\mathcal O(X)$ 对应于 $I$ 自身. 反过来, 由 $X$ 的凝聚性, $\mathcal O(X)$ 的每个元素都等于不超过它的紧对象的并. $\square$

事实上, 上述命题可理解为紧生成范畴的性质在 $(0,1)$-范畴语境下的特例.

Hochster 对偶

对于凝聚位象 $X$, 定义其 Hochster 对偶 $X^\vee$ 如下: $$ \mathcal O(X^{\vee}) = \mathsf{Ideal}((\mathcal O(X)^{\omega})^{\mathrm{op}}). $$ 换言之, 设凝聚位象 $X$ 对应于分配格 $L$, 那么 $X$ 的 Hochster 对偶就是分配格 $L^{\mathrm{op}}$ 对应的凝聚位象.

凝聚层 [凝聚层]

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观念

凝聚层是将代数几何中的几何对象变为 “线性” 范畴的方式.

Serre 的 “代数凝聚层” (FAC) 被称为 “20世纪代数几何最重要的文章”.

凝聚性将“点“的性质组织成为“局部“的性质. 粗略地说, 对于凝聚层, 当我们知道了一个点 $a$ 处的茎的信息, 我们就能获知与 $a$ 足够接近的点 $x$ 处茎的信息. 例如, 设凝聚层的序列 $\mathscr{F}'\to \mathscr{F} \to \mathscr{F}''$ 在一点 $a$ 处的茎是正合列, 则当 $x$ 足够接近 $a$ 时, 序列在 $x$ 处也是正合的.

凝聚层上同调是强有力的层上同调理论.

另见(拟)凝聚层范畴.

定义

设 $X$ 为环化空间. $\mathcal O_X$-模 $F$ 称为有限型 (of finite type) 是指存在 $X$ 开覆盖, 在每个局部 $U$ 上存在满射 $\mathcal O_U^{\oplus N} \to F\big|_U$. 称其为凝聚层, 是指对任意映射 $u\colon \mathcal O_U^{\oplus N}\to F$, $\ker u$ 是有限型的. 称其为拟凝聚层, 是指存在开覆盖, 每个局部 $F\big|_U$ 有表现 $\mathcal O_{U}^{(B)}\to \mathcal O_U^{(A)} \to F$.

定理 (Oka). 复解析空间上凝聚层等价于有限型.

命题. 若 $X$ 为 Noether 概形, 则凝聚层等价于有限型.

性质

凝聚层的重要性质是: 组成短正合列的三个层, 若其中两个是凝聚层, 则第三个也是凝聚层.

岡潔 (Oka Kiyoshi) 证明了一个深刻的结论: 复流形上的全纯函数层是凝聚层.

凝聚性的力量亦体现于 Cartan 定理 A 和定理 B.

紧对象

对于 Noether 概形 $X$, 凝聚层范畴 $\mathsf{Coh}(X)$ 等同于拟凝聚层范畴 $\mathsf{QCoh}(X)$ 的紧对象的范畴.

例

结构层

凝聚层最简单的例子是结构层 $\mathcal O_X$, 对应平凡线丛. 对于 $X=\operatorname{Spec}A$ 的情形, 这就是将 $A$ 视为 $A$-模.

1-形式层

设 $X$ 为 $k$ 上的非奇异仿射代数簇 (nonsingular affine algebraic variety), 其坐标环为 $A=k[X]$. 定义 $X$ 上的正则 1-形式 (regular differential 1-form) 是这样的 1-形式: 在每个局部 $U$ 上, 它都属于由 $df$ ($f\in k[U]$) 生成的 $k[U]$-子模. $X$ 上正则 1-形式构成的 $k[X]$-模记为 $\Omega[X]$.

可以证明, 若 $u_1,\cdots,u_n$ 是代数簇 $X$ 上 $x$ 附近的局部坐标, 那么存在仿射邻域 $U$, 使得 $\Omega[U]$ 作为 $k[U]$-模由 $du_1,\cdots ,du_n$ 生成.

定义 $X$ 的微分模 (module of differentials) $\Omega=\Omega[X]$. 可以证明 $\Omega$ 由 $df$ ($f$ 是 $X$ 上的正则函数) 生成.

记 $\Omega_X^1$ 为 $X$ 上的正则 $1$-形式层.

对于 $k$ 上的有限型 (finite type) 概形 $X$, 我们可类似地定义 $\Omega_X^1$.

闭子簇

对于闭子簇 $i\colon Y\to X$, $Y$ 上的向量丛 $E$ 的直像 $i_* E$ 是 $X$ 上的凝聚层. 这样, 一些关于闭子簇的问题可用凝聚层表达.

另见理想层.

重言层

射影空间 $\mathbb P=\mathbb P(V)$ 上的可逆层 $\mathcal O_{\mathbb P}(1)$ 是重言丛 (tautological line bundle) 上线性形式 (linear form) 的层. 其全局截面 $H^0(\mathbb P,\mathcal O_{\mathbb P}(1))$ 为 $V$ 上的线性形式的空间 $V^*$.

注. 重言丛的截面层为什么是 $\mathcal O(-1)$: 以 $V=\mathbb{C}^{n+1}$ 为例. 分次模 $\mathbb{C}[x_0,\cdots,x_n](1)$ 以 $x_0,\cdots,x_n$ 为 $0$ 阶元素, 对应的 $\mathcal O(1)$ 以 $x_0,\cdots,x_n$ 为全局截面, 它们是 $V$ 上的线性函数. 故重言丛是 $\mathcal O(1)$ 的对偶, 即 $\mathcal O(-1)$.

刚性幺半范畴 [刚性幺半范畴]

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定义

设 $\mathcal A$ 为稳定幺半范畴. 若如下条件成立, 则称其刚性:

$1_{\mathcal A}$ 为紧对象;
乘法函子 $\mathrm{mult}\colon \mathcal A\otimes\mathcal A \to \mathcal A$ 的右伴随 $\mathrm{mult}^R$ 为连续函子;
函子 $\mathrm{mult}^R\colon \mathcal A\to\mathcal A\otimes\mathcal A$ 为 $\mathcal A$-双模的同态 (它本来只是松同态).

参考 Gaitsgory–Rozenblyum.

性质

基变换条件

刚性幺半范畴的条件中, $\mathrm{mult}^R$ 为 $\mathcal A$-双模同态的条件表明下图为交换图.

换言之, 由有限集的推出图 $$ \begin{array}{ccc} 4 & \rightarrow & 3 \\ \downarrow & & \downarrow \\ 2 & \rightarrow & 1 \end{array} $$ 诱导的交换图 $$ \begin{array}{ccc} \mathcal A\otimes\mathcal A \otimes \mathcal A\otimes\mathcal A & \rightarrow & \mathcal A\otimes\mathcal A \otimes\mathcal A \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathcal A\otimes\mathcal A & \rightarrow & \mathcal A \end{array} $$ 满足基变换条件.

对象的可对偶性

对于刚性范畴 $\mathcal A$ 中的紧对象 $a$, 函子 $a \otimes -\colon \mathcal A\to\mathcal A$ 的右伴随由如下复合给出: $$ G\colon \mathcal A \overset{\mathrm{mult}^R}{\longrightarrow} \mathcal A\otimes\mathcal A \overset{\operatorname{Hom}(a,-)\otimes \mathrm{id}}{\longrightarrow} \mathsf{Sp}\otimes\mathcal A=\mathcal A. $$ 具体地, $$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(a\otimes b,c)&\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal A\otimes\mathcal A}(a\boxtimes b,\mathrm{mult}^R(c))\\ &\simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(b,G(c)). \end{aligned} $$ 这说明 $a$ 可对偶.