高阶 Zariski 几何 [higherZar]

本文是 ABCSS25 的阅读笔记. 在 Lurie DAG V 的基础上, 建立局部 $2$-环化意象以及相应的 Zariski 谱等概念.

用 “$2$-环” 来指代幂等完备的稳定对称幺半范畴. 记 $2$-环的范畴为 $2\mathsf{CAlg}$. 这是一个非常广泛的范畴, 包括了代数几何中许多对象:

• qcqs 概形 $X$ 上的完美导出范畴 $\mathsf{Perf}_X$;
• 谱的范畴 $\mathsf{Sp}$ 及其变体 (等变, 母题);
• 非交换几何中的 Kasparov 可分 $C^*$-代数范畴;
• Kontsevich 同调镜像对称猜想中的 Fukaya 范畴.

这篇文章定义了局部 $2$-环化空间, 建立了如下伴随: $$ \operatorname{Spec}\colon 2\mathsf{CAlg} \rightleftarrows \mathsf{Loc}2\mathsf{RingSp}^{\mathrm{op}} \colon \Gamma, $$ 其中右伴随部分 $\Gamma$ 是取整体截面的 $2$-环. 并且左伴随部分 $\operatorname{Spec}$ 在刚性 $2$-环的子范畴上是全忠实的; 特别地, 每个刚性 $2$-环 $\mathcal K$ 都等同于 $\operatorname{Spec}\mathcal K$ 上的结构层的整体截面的 $2$-环.

2-环的范畴

记 $\mathsf{Cat}^{\mathrm{perf}}$ 为