本页面讨论稳定同伦论中的谱. 另一个无关的概念是代数–几何对偶中的谱.
观念
带基点生象 $X,Y$ 之间的稳定映射空间
$$
\operatorname{Hom}_s(X,Y) :=\operatorname{colim}_k \operatorname{Hom}(\Sigma^k X,\Sigma^k Y)
$$
具有自然的 $\mathbb E_\infty$-群结构. 特别地, 稳定同伦群 $\pi_n^s(X)=\pi_0\operatorname{Hom}_s(S^n,X)$ 是 Abel 群.
我们希望将生象的范畴稳定化, 使得稳定化后的映射空间是上述的余极限, 也即形式上令 $\Sigma$ 可逆. 参见形式取逆.
对于具有有限极限和有限余极限的范畴, 存在伴随 $\Sigma \dashv \Omega$:
$$
\text{Map}(\Sigma X,Y)\simeq *\times_{\text{Map}(X,Y)}*\simeq \text{Map}(X,\Omega Y).
$$
谱的范畴 $\mathsf{Sp}$ 是生象范畴的稳定化
$$
\mathsf{Sp} := \lim\Big(\cdots\overset{\Omega}{\longrightarrow} \mathsf{Ani}_*
\overset{\Omega}{\longrightarrow} \mathsf{Ani}_*\Big)
\in \mathsf{Cat}_{\infty}.
$$
其构造思路大致是: 从带基点生象范畴 $\mathsf{Ani}_*$ 开始, 强行让纬悬 $\Sigma$ 变得可逆, 得到一个新的范畴.
谱的表现包括序列谱, 坐标无关谱等.
定义
见序列谱.
例
纬悬谱
设 $X$ 为带基点空间, $X$ 的纬悬谱 $\Sigma^{\infty}X$ 可定义为序列谱 $\{\Sigma^q X\}_{q\geq 0}$ 以及恒等映射 $\Sigma\Sigma^q X\to\Sigma^{q+1}X$.
对于正整数 $n$, 定义 $\Sigma^{\infty -n}X$ 为如下序列谱: 第 $n$ 项以前为单点, 第 $q\geq n$ 项为 $\Sigma^{q-n}X$.
特别地, 称 $X=S^0$ 的纬悬谱为球谱 (sphere spectrum).
谱化
对于预谱 $T_\bullet$, 若 $T_q\to \Omega T_{q+1}$ 为嵌入, 可定义一个谱 $(LT)_\bullet$,
$$
(LT)_q:=\operatorname{colim}_{l}\Omega^l T_{q+l},
$$
称为 $T$ 的谱化 (spectrification). 谱化是谱到预谱的遗忘的左伴随.
特别地, 对于 $T=\{\Sigma^q X\}_{q\geq 0}$, 有 $(LT)_0=\operatorname{colim}_l \Omega^l\Sigma^l X$, 记后者为 $QX$.
性质
谱的范畴 $\mathsf{Sp}$ 是稳定 ∞-范畴.
有对称幺半函子
$$
(\mathsf{Set},\times) \to (\mathsf{Ani},\times) \overset{(-)_+}{\to} (\mathsf{Ani}_{*/},\wedge) \overset{\Sigma_{\infty}}{\to} (\mathsf{Sp},\wedge).
$$
谱的同伦群与同调群
对于序列谱 $T_\bullet$, 定义
$$
\pi_n(T_\bullet)=\operatorname{colim}_l \pi_{n+l}T_l,
$$
$$
H_n(T_\bullet,R)=\operatorname{colim}_q\widetilde {H}_{n+q}(T_q,R).
$$
但这样无法定义上同调, 因为箭头的方向.
相关概念
稳定化, 稳定同伦范畴, Abel ∞-群