观念
Thom 谱是球谱沿指定空间的余极限.
定义
通过向量丛的 Thom 空间
定义 $d$ 阶实向量丛 $\xi\colon V\to X$ 的 Thom 谱为其 Thom 空间的纬悬谱的 $-d$ 次位移
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\operatorname{Th}(\xi) := \Sigma^{-d}\Sigma^{\infty}\text{Th}(V).
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抽象定义
设空间 $X$ 上有一向量丛, 对应映射 $X\to\mathbf{B}\mathrm{O}_n$; 定义其 Thom 谱为 $\mathsf{Sp}$ 中的余极限
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\operatorname{colim}(X\to\mathbf{B}\mathrm{O}_n \to \mathsf{Sp}).
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对任意生象群同态 $G \to \mathrm{O}$, 定义 “$G$-结构的万有 Thom 谱” 为$\mathsf{Sp}$ 中的余极限
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\mathrm{M}G:= \operatorname{colim}(\mathbf{B} G \to \mathbf{B}\mathrm{O}_n \to \mathsf{Sp}).
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性质
幺半性
对于 $X$ 上的向量丛 $\xi$ 与 $Y$ 上的向量丛 $\eta$, 记 $\xi\boxplus\eta$ 为 $X\times Y$ 上 $\xi$ 与 $\eta$ 的外直和, 则 $(X\times Y)^{\xi\boxplus\eta}\simeq X^\xi \wedge Y^{\eta}$, 从而
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\operatorname{Th}(\xi\boxplus\eta)\simeq\operatorname{Th}(\xi)\wedge\operatorname{Th}(\eta);
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这是由于空间偶的缩积
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(V,V_0)\wedge (W,W_0)=(V\times W,V\times W_0\cup V_0\times W).
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与配边的关系
$\mathrm{M}G$ 的 $n$ 阶同伦群自然同构于 $G$-结构 $n$ 维流形的配边群.
例
万有 Thom 谱
- 万有实 Thom 谱 MO 为万有实向量丛的 Thom 谱.
- 万有复 Thom 谱 MU 为万有复向量丛的 Thom 谱.
相关概念
Thom 空间