定义
定义 $d$ 阶实向量丛 $\xi\colon V\to X$ 的 Thom 谱为其 Thom 空间的纬悬谱的 $-d$ 次位移
$$
\operatorname{Th}(\xi) := \Sigma^{-d}\Sigma^{\infty}\text{Th}(V).
$$
性质
幺半性
对于 $X$ 上的向量丛 $\xi$ 与 $Y$ 上的向量丛 $\eta$, 记 $\xi\boxplus\eta$ 为 $X\times Y$ 上 $\xi$ 与 $\eta$ 的外直和, 则 $(X\times Y)^{\xi\boxplus\eta}\simeq X^\xi \wedge Y^{\eta}$, 从而
$$
\operatorname{Th}(\xi\boxplus\eta)\simeq\operatorname{Th}(\xi)\wedge\operatorname{Th}(\eta);
$$
这是由于空间偶的缩积
$$
(V,V_0)\wedge (W,W_0)=(V\times W,V\times W_0\cup V_0\times W).
$$
例
万有 Thom 谱
- 万有实 Thom 谱 MO 为万有实向量丛的 Thom 谱.
- 万有实 Thom 谱 MU 为万有复向量丛的 Thom 谱.
相关概念
Thom 空间