百科. Thom 空间 [Thom空间]

观念

Thom 空间是一种由向量丛 “扭曲” 的纬悬.

另见 Thom 谱.

定义

对于空间 $X$ 上的向量丛 $\xi\colon V\to X$, 定义其 Thom 空间为生象 $$ X^\xi := \operatorname{cofiber} (V\setminus X \hookrightarrow V)\simeq \operatorname{cofiber}(S(V)\hookrightarrow D(V)), $$ 其中 $D(V)$, $S(V)$ 分别为圆盘丛与球丛.

性质

函子性

对于映射 $f\colon Y\to X$ 与 $X$ 上的向量丛 $\xi$, 有自然的映射 $$ Y^{f^*\xi} \to X^\xi. $$

幺半性

设 $\xi\boxplus\eta\colon V\times W\to X\times Y$ 为两个向量丛的外直和, 则 $$ (X\times Y)^{\xi\boxplus\eta} \simeq X^\xi\wedge Y^\eta. $$

稳定性

$$ X^{\xi\oplus\mathbb{R}^n} = \Sigma^n X^\xi. $$

平凡丛的 Thom 空间

$$ X^{\mathbb{R}^n} = \Sigma^n X. $$

相关概念

Thom 谱, 广义上同调中的定向