观念
高阶模是 “环上的模” 这一概念的范畴化.
正如环 $A$ 上的模是其谱 $\operatorname{Spec} A$ 上的拟凝聚层, 环 $A$ 上的高阶模是 $\operatorname{Spec} A$ 上的高阶拟凝聚层.
定义
一般地, 交换代数 $A$ 上的模范畴 $\mathsf{Mod} (A)$ 仍是交换代数, 从而可以继续考虑其上的模. 环 $A$ 上的 $n$ 阶模范畴便是 “取模范畴” 操作的 $n$ 次迭代: “$\mathsf{Mod}^n (A) = \mathsf{Mod} (\mathsf{Mod}^{n-1} (A))$”.
为了明确上述定义所在的范畴, 我们需要高阶可表现范畴的概念. 记 $n\mathsf{Pr}$ 为可表现 $n$-范畴的范畴.
环上的高阶模范畴
约定. 这里的 $n$-范畴是指 $(\infty ,n)$-范畴, 环是指 E∞-环, 环上的模范畴 $\mathsf{Mod}(A)$ 在传统情形中称为导出范畴 $D(A)$. 暂且忽略基数的大小问题.
定义 ($A$-线性可表现范畴). 对于交换环 $A$, 考虑 $A$-模范畴 $\mathsf{Mod}(A) \in \mathsf{CAlg}(1\mathsf{Pr})$. 定义 “$A$-线性可表现范畴” 构成的对称幺半可表现 $2$-范畴
$$
1\mathsf{Pr}_A = \mathsf{Mod}_{1\mathsf{Pr}}(\mathsf{Mod}(A)) \in \mathsf{CAlg}(2\mathsf{Pr}),
$$
归纳地定义 “$A$-线性可表现 $n$-范畴” 构成的对称幺半可表现 $(n+1)$-范畴
$$
n\mathsf{Pr}_A = \mathsf{Mod}_{n\mathsf{Pr}}((n-1)\mathsf{Pr}_A)\in \mathsf{CAlg}((n+1)\mathsf{Pr}).
$$
可表现范畴上的高阶模范畴
定义 ($C$-线性可表现范畴). 更一般地, 对于 $C \in \mathsf{CAlg}(1\mathsf{Pr})$, 也可定义
$$
1\mathsf{Pr}_C = \mathsf{Mod}_{1\mathsf{Pr}}(C) \in \mathsf{CAlg}(2\mathsf{Pr}),
$$
并归纳定义
$$
n\mathsf{Pr}_C = \mathsf{Mod}_{n\mathsf{Pr}}((n-1)\mathsf{Pr}_C) \in \mathsf{CAlg}((n+1)\mathsf{Pr}).
$$