观念
交换 Hopf 代数胚是仿射概形范畴中的群胚的代数侧对偶概念.
定义
…
余模
交换 Hopf 代数胚 $(A,\Gamma)$ 上的余模为 $A$-模 $M$, 带有余作用
$$
\eta \colon M \to \Gamma\otimes_A M,
$$
满足
- (余单位律) $M \to \Gamma\otimes_A M \to M = \operatorname{id}_M$;
- (余结合律) $M\to \Gamma\otimes_A \Gamma\otimes_A M$ 的两个映射相等.
余模可以理解为拟凝聚层沿 $\operatorname{Spec}\Gamma\to\operatorname{Spec} A$ 的 Čech 脉的下降数据.
性质
与叠的关系
一个交换 Hopf 代数胚 $(A,\Gamma)$ 也给出一个叠 (代数叠)
$$
\mathcal M_{(A,\Gamma)}\colon \mathsf {Ring} \to \mathsf {Grpd},
$$
$$
R\mapsto \{\operatorname{Hom}_{\mathsf {Ring}}(\Gamma,R)\rightrightarrows \operatorname{Hom}_{\mathsf {Ring}}(A,R)\}.
$$
交换 Hopf 代数胚 $(A,\Gamma)$ 上的余模即是叠 $\mathcal M_{(A,\Gamma)}$ 上的拟凝聚层.
例
平坦交换环谱
设 $E$ 是满足某种平坦条件 (将在下文中说明) 的交换环谱, 则有交换 Hopf 代数胚 $(E_* E, E_*)$, 即 $\mathsf{Aff}$ 中的群胚对象
$$
\operatorname{Spec}(E_* E) \rightrightarrows \operatorname{Spec}(E_*).
$$
我们解释这一现象. 对任意交换环谱 $E\in\mathsf{CAlg}(\mathsf{Sp})$, 考虑唯一的环同态 $\mathbb S \to E$ 在反范畴中的化身
$$
\operatorname{Spec}(E) \to \operatorname{Spec}(\mathbb S),
$$
其 Čech 脉为 (谱代数几何意义下) 仿射概形中的余离散群胚对象
$$
\Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Sp})^{\mathrm{op}},
$$
$$
[n]\mapsto\operatorname{Spec}(E)^{\times (n+1)} = \operatorname{Spec}(E^{\land (n+1)}).\,(\star)
$$
我们知道同伦群函子
$$
\pi_*\colon (\mathsf{Sp},\land) \to (\mathsf{grAb},\otimes)
$$
是松对称幺半函子, 从而将交换代数变为交换代数:
$$
\pi_*\colon \mathsf{CAlg}(\mathsf{Sp}) \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{grAb}).
$$
因此对 $(\star)$ 作用 $\pi_*$ 即得到 $\mathsf{CAlg}(\mathsf{grAb})^{\mathrm{op}}$ 中的单纯对象
$$
\Delta^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CAlg}(\mathsf{grAb})^{\mathrm{op}},
$$
$$
[n]\mapsto\operatorname{Spec}\pi_* (E^{\land (n+1)}).
$$
要让这个单纯对象构成群胚对象, 需要 Segal 条件. 我们观察其中最简单的一个非平凡条件, 即对应单形 $[2] = [1]\sqcup_{[0]}[1]$ 的 Segal 条件:
$$
\operatorname{Spec}\pi_* (E\land E \land E) \overset{\simeq}{\to} \operatorname{Spec}\pi_* (E\land E)\times_{\operatorname{Spec}\pi_* (E)}\operatorname{Spec}\pi_* (E\land E),
$$
也即
$$
\pi_* (E\land E \land E) \overset{\simeq}{\leftarrow} \pi_* (E\land E)\otimes_{\pi_* (E)}\pi_* (E\land E).
$$
暂记 $F = E \land E$, 那么上述条件可重写为
$$
\pi_* (F \land_E F) \overset{\simeq}{\leftarrow} \pi_* (F)\otimes_{\pi_* (E)}\pi_* (F).\,(\dagger)
$$
断言. $E$ 的平坦性保证了 $F\land_E (-)$ 为 $t$-正合函子, 从而对任意 $E$-模 $X$ 有
$$
\pi_* (F \land_E X) \overset{\simeq}{\leftarrow} \pi_* (F) \otimes_{\pi_* (E)} \pi_* (X),
$$
特别地, 映射 $(\dagger)$ 为同构.