百科. 同伦群 (稳定同伦论) [同伦群(稳定同伦论)]

观念

在稳定同伦论中, 由于每个对象都是任意阶的环路空间, 对象的 “同伦群” 都是 $\mathbb E_\infty$-代数 (交换群); 对整个稳定 $\infty$-范畴而言, 各阶同伦群的地位相同, 仅相差平移.

定义

通过 t-结构

设稳定 $\infty$-范畴 $\mathcal C$ 带有 t-结构 $(\mathcal C_{\geq 0},\mathcal C_{\leq 0})$, 其心为 $\mathcal C^\heartsuit = \mathcal C_{\geq 0}\cap\mathcal C_{\leq 0}$. 定义函子 $\pi_0\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 为 $\tau_{\geq 0}\tau_{\leq 0} = \tau_{\leq 0}\tau_{\geq 0}$. 对整数 $n$ 定义 $\pi_n (X) = \pi_0 (X[-n])$.

通过余极限

对于来自稳定化过程的稳定 $\infty$-范畴, 例如谱的范畴 $\mathsf{Sp}$, 其中对象的同伦群可定义为逼近它的一列对象的同伦群的余极限: 若 $$ X = \operatorname{colim}_k \Sigma^{\infty-k} X_k, $$ 则 $$ \pi_n(X) = \operatorname{colim}_k \pi_{n+k} X_k. $$