Notion. 自由–遗忘伴随 [自由-遗忘伴随]

自由–遗忘伴随形容的是如下的现象: 两种数学结构 $A,B$ 的语法之间有一态射 $A \to B$, 使得 $B$-结构总是可以 “遗忘” 为 $A$-结构 (称之为遗忘是因为常常 $A$-结构是比较简单的结构, 甚至是没有结构; 但理论上不一定如此); 进一步, 遗忘函子有一左伴随, 称之为自由函子, 常常可以通过左 Kan 扩张构造. 这一现象发生在许多场合:

这些场合是相互关联的, 例如结合代数 $A$ 给出单子 $-\otimes A$, 其上的模即是该单子的代数. 算畴和代数理论也给出单子. 若一对伴随能够表示为某个单子的自由–遗忘伴随, 则称之为单子性伴随 (monadic adjunction).