正则基数 [正则基数]

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范畴论
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可表现对象 [可表现对象]

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观念

给定正则基数 $\kappa$, 范畴中的对象的 $\kappa$-可表现性是 “紧性” 或 “小性” 的一种体现, 其大小体现在基数 $\kappa$ 上. 其中最强的条件是 $\omega$-可表现性 ($\omega$ 是最小的正则基数), 又叫 “有限可表现性”; 它是有限集, 有限表现群等概念的抽象.

设想我们要用纯范畴论性质来刻画有限集. 集合 $X$ 是有限集当且仅当如下条件成立:

对 $X$ 的任意一列子集 $X_0\subset X_1\subset\cdots$, 若 $X = \bigcup_i X_i$, 则存在 $i$ 使得 $X=X_i$.

这个性质等价于如下 (更 “纯范畴论” 的) 陈述:

对任意一列映射 $X_0\to X_1\to\cdots$, 以及映射 $X \to \operatorname{colim}X_i$, 存在 $i_0$ 使得 $X \to \operatorname{colim}X_i$ 穿过 $X_{i_0}\to \operatorname{colim}_i X_i$.

这又等价于

函子 $\operatorname{Hom}(X,-)\colon \mathsf{Set}\to\mathsf{Set}$ 保持滤余极限.

一般范畴中的有限表现对象可视为上述概念的推广.

定义

设范畴 $\mathcal C$ 具有滤余极限. 若对象 $X$ 满足 $\operatorname{Hom}(X,-)\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$ 保持滤余极限, 则称 $X$ 为有限表现对象, 又称紧对象.

一般地, 对于正则基数 $\kappa$, 若对象 $X$ 满足 $\operatorname{Hom}(X,-)\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$ 保持 $\kappa$-滤余极限, 则称 $X$ 为 $\kappa$-可表现对象.

例

对于拓扑空间 $X$ 的开集范畴 $\mathrm{Open}(X)$, $X$ 是紧对象当且仅当 $X$ 是紧拓扑空间. 注意: 拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 的紧对象不一定是紧拓扑空间.

可表现范畴 [可表现范畴]

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观念

可表现范畴 $\mathcal C$ 是一个可能很大的范畴, 却能由较小的一族对象 $\mathcal S\hookrightarrow\mathcal C$ 控制. 此时, $\mathcal C$ 可表现为预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal S)$ 的局部化.

范畴论中的许多结论依赖于范畴的可表现性, 例如伴随函子定理, 以及刻画意象的 Giraud 公理.

另一种重要的观点: 从范畴逻辑学的角度, 可表现范畴是本质代数理论的模型的范畴.

定义

对于正则基数 $\kappa$ (通常取为 $\aleph_0$, 见紧生成范畴), 称满足如下等价条件的范畴 $\mathcal C$ 为 $\kappa$-可表现范畴:

$\mathcal C$ 余完备, 且有一族 $\kappa$-可表现对象构成的集合, 在 $\kappa$-滤余极限下生成整个范畴.
$\mathcal C$ 等价于一个小范畴的 $\kappa$-Ind 范畴.

称 $\mathcal C$ 为可表现范畴是指存在一个基数 $\kappa$, $\mathcal C$ 为 $\kappa$-可表现范畴.

等价的定义是: 有一个小范畴到 $\mathcal C$ 的函子 $j\colon \mathcal S\hookrightarrow\mathcal C$, 使得米田扩张 $\mathsf{Psh}(\mathcal S) \to \mathcal C$ 是预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal S)$ 关于某个小态射族 $W \subset \mathsf{Fun}([1],\mathsf{Psh}(\mathcal S))$ 的局部化.

可表现范畴以及保持余极限的函子构成的范畴记为 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$, 其中 $\mathrm{L}$ 的含义是这些函子是左伴随 (伴随函子定理).

可表现范畴以及保持极限的函子构成的范畴记为 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}$. 有 $$ \mathsf{Pr}^{\mathrm{R}} \simeq (\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}})^{\mathrm{op}}. $$

性质

张量积

可表现范畴的范畴 $\mathsf{Pr}$ 上有一个对称幺半范畴结构, 称为 Lurie 张量积.

命题-定义. 对于可表现范畴 $\mathcal C,\mathcal D$, 存在万有的可表现范畴 $\mathcal C\otimes\mathcal D$, 带有一个双线性 (即保持每个分量的余极限) 的函子 $$ \mathcal C\times \mathcal D \to \mathcal C\otimes\mathcal D. $$

可表现范畴的张量积的单位是 $\mathsf{Ani}$.

极限

可表现范畴的极限即是其作为范畴的极限. 换言之, 遗忘函子 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}} \to \mathsf{Cat}$ 保持极限.

余极限

可表现范畴的余极限, 不是其作为范畴的余极限; 但可以如下计算: 图表 $X\colon I \to \mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$ 给出 $X^{\mathrm{op}}\colon I^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}$, 而其余极限可计算为 $$ \operatorname{colim}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}}X = \operatorname{lim}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}}}X^{\mathrm{op}}= \operatorname{lim}^{\mathsf{Cat}} X^{\mathrm{op}}. $$ 换言之, 遗忘函子 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{R}} \to\mathsf{Cat}$ 保持极限.

例如, 对任意集合 $I$, 可表现范畴的 $I$-余积实际上等同于可表现范畴的积, 也等同于其作为范畴的积: $$ \coprod_{i\in I}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}} \mathcal C_i \overset{\simeq}{\to} \prod_{i\in I}^{\mathsf{Cat}} \mathcal C_i \simeq \prod_{i\in I}^{\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}} \mathcal C_i. $$ 这是一个重要的性质, 称为半加性 (semiadditivity).

例

意象

(由景表现的) 意象是可表现范畴.

其中, 由小范畴 $\mathcal C$ 上的平凡 Grothendieck 拓扑表现的意象, 也即预层意象 $\mathsf{Fun}(\mathcal C ^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$, 是 $\mathcal C$ 生成的自由可表现范畴.