本质代数理论 [本质代数理论]

观念

本质代数理论是代数理论的推广, 可视为通过 “部分定义函数” 的语法对有限极限范畴的一种表现.

定义

通过语法

本质代数理论作为一种一阶理论是代数理论的推广, 其函数允许部分定义, 即定义在由等式给出的子集上.

通过语法范畴

一个本质代数理论 (或者更准确地说是该理论的语法范畴), 就是一个具有有限极限的范畴 $\mathcal T$. 因此本质代数理论又叫有限极限理论 (finite limit theory).

对于范畴 $\mathcal C$, 本质代数理论 $\mathcal T$ 在 $\mathcal C$ 中的模型为保持有限极限的函子 $\mathcal T\to\mathcal C$. 记 $\mathcal T$ 在 $\mathcal C$ 中模型的范畴为 $\mathsf{Mod}_{\mathcal C}(\mathcal T)$.

对于具有有限极限的范畴 $\mathcal T$, 没有典范的方法选取一阶理论中类型, 函数符号等资料, 因为这些资料只是理论的表现. 当一族对象通过有限极限生成整个范畴 (即最小的包含这些对象且关于有限极限封闭的全子范畴是 $\mathcal T$) 时, 这族对象就可以作为某个表现的类型.

性质

极限与余极限

命题. 设 $\mathcal T$ 是本质代数理论, 其类型的集合为 $\mathrm{Sort}(T)$ (需额外选取). 则遗忘函子 $\mathsf{Mod}_{\mathsf{Set}}(\mathcal T) \to \mathsf{Set}^{\mathrm{Sort}(T)}$ 保持且创生 $\mathcal T$-模型的滤余极限.

例

(小) 范畴的理论是一种本质代数理论. 例如, 态射的复合只能对首尾相连的态射定义.