观念
结合代数的 Hochschild 同调是其 “沿着流形 $S^1$ 的张量积”, 即 $S^1$ 上的分解同调.
Hochschild 同调又叫 “迹”, “余中心”.
交换代数的 Hochschild 同调是其与生象 $S^1$ 的张量积.
定义
结合代数
设 $\mathcal C$ 为闭对称幺半范畴, $A$ 为 $\mathcal C$ 中的结合代数. 定义其 Hochschild 同调为
$$
\operatorname{HH}_*(A) := A \otimes_{A\otimes A^{\mathrm{op}}} A.
$$
这个定义的缺陷是它没能反映 Hochschild 同调的 $S^1$-对称性.
交换代数
当 $A$ 为交换代数时,
有
$$
\mathrm{HH}_*(A) =
A\otimes_{A\otimes A}A = \operatorname{colim}_{S^1}^{\mathsf{CAlg}(\mathcal C)} A = A^{\otimes S^1}.
$$
有典范的态射
$$
A \to\mathrm {HH}^*(A),
$$
它是 $A$ 到 $S^1$-作用的交换代数的万有态射, 是交换代数的范畴中 $S^1$ 形状的常值图 $A$ 的余极限, 也是 $A\colon *\to \mathsf {CAlg}(\mathcal C)$ 沿 $*\to \mathbf{B}S^1$ 的左 Kan 扩张.
而这个余极限 $\operatorname{colim}_{S^1}^{\mathsf{CAlg}(\mathcal C)} A$ 由于 $S^1=*\sqcup_{*\sqcup *}*$, 可计算为
$$
\begin{aligned}
\mathrm {HH}_*(A) &= \operatorname{colim}_* A \otimes_{\operatorname{colim}_{*\sqcup *}A}\operatorname{colim}_* A\\
& = A\otimes_{A\otimes A}A.
\end{aligned}
$$
记 $X = \operatorname{Spec} A$, 那么作为导出概形有
$$
\operatorname{Spec}(\operatorname{HH}_*(A)) = X\times_{X\times X} X = X^{S^1} = \mathcal LX,
$$
即为 $X$ 的自由环路空间 $\mathcal L X$.
范畴
紧生成范畴 $\mathcal C$ 的 Hochschild 同调可定义为如下单纯对象的几何实现:
性质
与 K-理论的关系
THH and TC are in practice computationally useful approximations to K
相关概念
Hochschild 上同调