观念
结合代数可视为单对象充实范畴. 充实范畴上的模是结合代数上的模和预层的共同的推广.
充实范畴 $\mathcal A$ 上的模范畴 $\mathsf{LMod}(\mathcal A)$, $\mathsf{RMod}(\mathcal A)$ 是结合代数上的模范畴的推广, 其之间的等价是 Morita 等价的推广.
注意. 这里所说的 “充实范畴上的模” 与 “幺半范畴上的模” 是不同的概念. 后者指的是将幺半范畴视为 $\mathsf{Cat}$ 中的结合代数, 然后考虑结合代数上的模. 而前者中的充实范畴 $\mathcal A$ 甚至不一定是结合代数.
但是, $\mathcal V$-充实范畴与 $\mathcal V$ (作为结合代数) 上的模是有关系的. 确切地说两者之间有一个自由-遗忘伴随: $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$ 上的右模范畴 $[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V]$ 是其自由生成的 $\mathcal V$-模.
定义
设 $\mathcal V$ 为余完备闭对称幺半范畴. 对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$, 定义 $\mathcal A$-左模的范畴为充实函子范畴
$$
\mathsf{LMod}(\mathcal A) := [\mathcal A,\mathcal V],
$$
$\mathcal A$-右模的范畴为
$$
\mathsf{RMod}(\mathcal A):=
\mathsf{LMod}(\mathcal A^{\mathrm{op}})=
[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V].
$$
对于两个 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A,\mathcal B$, 定义 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模的范畴为
$$
\mathsf{BMod}(\mathcal A,\mathcal B) := \mathsf{LMod}(\mathcal A\otimes\mathcal B^{\mathrm{op}}) = [\mathcal A\otimes\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V].
$$
双模又叫代函子 (profunctor).
$\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$ 自身可作为 $(\mathcal A,\mathcal A)$-双模 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$, $(a,a')\mapsto \operatorname{Hom}(a',a)$.
性质
双模的张量积
定义 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模 $M\colon \mathcal A\otimes\mathcal B^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ 和 $(\mathcal B,\mathcal C)$-双模 $N\colon \mathcal B\otimes\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal V$ 在 $\mathcal B$ 上的张量积 $M\otimes_{\mathcal B}N\colon \mathcal A\otimes\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal V$ 为
$$
M\otimes_{\mathcal B} N (a,c):= \operatorname{colim}_{b\in\mathcal B} M(a,b)\otimes N(b,c).
$$
特别地, $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模给出函子 $\mathsf{RMod}(\mathcal A) \to \mathsf{RMod}(\mathcal B)$.
若将双模视为 $\mathcal A$ 到 $\mathcal B$ 的代函子, 则双模的张量积是代函子的复合. 若将双模视为模范畴之间的函子, 则双模的张量积也是模范畴之间的函子的复合.
中心
回忆环 $R$ 上的代数 $A$ 的中心是 $R$, 意味着 $A$ 作为 $A\otimes A^{\mathrm{op}}$-模的自同态环为 $R$. 这推广为如下定义.
定义 (中心 $\mathcal V$-充实范畴). 设 $\mathcal A$ 是 $\mathcal V$-充实范畴. 若 $\mathcal A$ 作为 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}$-模的自同态对象为 $\mathcal V$ 的始对象 (换言之, 函子 $\mathcal I \to \mathsf{Mod}(\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}})$, $*\mapsto\mathcal A$ 全忠实), 则称 $\mathcal A$ 为中心 $\mathcal V$-充实范畴.
生成元
回忆, 对环 $R$ 上的代数 $A$ 以及 $A$-模 $M$, 称 $M$ 为 $\mathsf{Mod}(A)$ 的生成元是指 $\operatorname{Hom}_A(M,-)$ 反映同构; 即 $A$-模同态 $f\colon X\to Y$ 为同构当且仅当 $\operatorname{Hom}(M,X) \to \operatorname{Hom}(M,Y)$ 为同构.
设 $M$ 为 $(A,B)$-双模, 则有函子 $\operatorname{Hom}(M,-) \colon \mathsf{RMod}(A) \to \mathsf{RMod}(B)$. 若该函子反映同构, 则称 $M$ 为强生成元 (strong generator).
定义. 设 $\mathcal A,\mathcal B$ 为 $\mathcal V$-充实范畴, $M$ 为 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模. 若
$$
\mathsf{RMod}(B)\to\mathsf{RMod}(A),
$$
$$
(F\colon \mathcal B\to\mathcal V)\mapsto (A\mapsto \operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V)}(M(A,-),F))
$$
反映同构, 则称 $M$ 为强生成元.
Morita 等价
命题-定义. 设 $\mathcal A,\mathcal B$ 为 $\mathcal V$-充实范畴. 若如下等价条件成立, 则称 $\mathcal A,\mathcal B$ Morita 等价:
- $\mathsf{RMod}(\mathcal A)$ 与 $\mathsf{RMod}(\mathcal B)$ 作为 $\mathcal V$-充实范畴相等价;
- 存在 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模 $M$ 以及 $(\mathcal B,\mathcal A)$-双模 $N$ 使得
$$
M\otimes_{\mathcal B} N \simeq \mathcal A,\,N\otimes_{\mathcal A}M\simeq\mathcal B.
$$
对于一个具体的双模, 如下命题刻画了其何时为 Morita 等价.
命题. 对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A,\mathcal B$ 以及 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模 $M$, 如下条件等价.
- $M$ 是 Morita 范畴中的可逆 $1$-态射, 即 $M$ 构成了 $\mathcal A$ 到 $\mathcal B$ 的 Morita 等价;
- 若将 $M$ 视为函子 $\mathcal A \to\mathsf{Fun}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V)$, 则其沿米田嵌入的左 Kan 扩张 $\operatorname{LKE}(M)\colon \mathsf{Fun}(\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V)\to \mathsf{Fun}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V)$ 为等价;
- $M$ 为强生成元, 有右伴随, 且函子 $\mathcal A \to\mathsf{Fun}(\mathcal B^{\mathrm{op}},\mathcal V)$ 全忠实.
伴随
双模的伴随即是 Morita 范畴 (作为 $2$-范畴) 中的伴随.
小投射模
命题. 设 $R$ 为交换环, $A,B$ 为 $R$-代数, $M$ 为 $(A,B)$-双模. 那么 $M$ 有右伴随当且仅当 $M$ 为有限生成投射 $B$-模.
定义. 设 $\mathcal A,\mathcal B$ 为 $\mathcal V$-充实范畴, $M$ 为 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模. 若 $M$ 有右伴随, 则称其为小投射 (small projective) $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模.
可分充实范畴
可分充实范畴是可分代数的推广.
设 $\mathcal A$ 为 $\mathcal V$-充实范畴, 若 $\mathcal A$ 作为 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}$-模 $\mathcal A\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal V$ 为小投射模, 则称 $\mathcal A$ 可分 (separable).