伴随 [伴随]

观念

伴随是 $2$-范畴的两个对象之间一对态射的一种关系, 可理解为某种对偶; 它是 $1$-范畴中态射的互逆关系的推广.

$2$-范畴 $\mathcal C$ 中的伴随等同于游走的伴随 $\mathsf{Adj}$ 到 $\mathcal C$ 的函子 $$ \mathsf{Adj} \to \mathcal C. $$

定义

伴随函子

一对伴随函子 $F\dashv G$ 是带有如下自然同构的函子: $$ \operatorname{Hom}(F-,-)\simeq\operatorname{Hom}(-,G-). $$

命题. 如下条件等价:

  • 函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 有右伴随;
  • 对任意 $d\in\mathcal D$, 函子 $\operatorname{Hom}(F-,d)\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Ani}$ 可表;
  • 对任意 $d\in\mathcal D$, 元素范畴 $\int_{\mathcal C}\operatorname{Hom}(Fc,d)$ 有终对象.

对偶地, 如下条件等价:

  • 函子 $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 有左伴随;
  • 对任意 $c\in\mathcal C$, 函子 $\operatorname{Hom}(c,G-)\colon \mathcal D \to\mathsf{Ani}$ 余可表;
  • 对任意 $c\in\mathcal C$, 元素范畴 $\int_{\mathcal D}\operatorname{Hom}(c,Gd)$ 有始对象.

$2$-范畴中的伴随

通常说的伴随是 $2$-范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的伴随. 更一般地, $2$-范畴 $\mathcal C$ 中的伴随等同于游走的伴随 $\mathsf{Adj}$ 到 $\mathcal C$ 的函子 $$ \mathsf{Adj} \to \mathcal C. $$

具体地, 一对伴随可由如下资料表现:

  • 态射 $F\colon C\to D$, $G\colon D\to C$;
  • $2$-态射 $\eta\colon \mathrm{id}_C \to GF$, $\varepsilon\colon FG\to\mathrm{id}_D$;
  • 三角形等式 $$ F \overset{\eta}{\to} FGF \overset{\varepsilon}{\to}F = \mathrm{id}_F, $$ $$ G \overset{\eta}{\to} GFG \overset{\varepsilon}{\to}G = \mathrm{id}_G. $$

性质

伴随保持极限

命题. 左伴随函子保持余极限; 右伴随函子保持极限.

证明. 我们证明一个更广泛的结论, 即左伴随保持左 Kan 扩张, 右伴随保持右 Kan 扩张.

设 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$, 有伴随 $F\dashv G$.

设 $p\colon \mathcal A\to\mathcal B$ 为任意函子. 记 $$ p_!\colon \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C)\to\mathsf{Fun}(\mathcal B,\mathcal C) $$ 为沿 $p$ 的左 Kan 扩张; 我们断言对于 $X\in\mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C)$, 有 $$ p_! (F\circ X) \simeq F\circ p_! X. $$

注意到, $(F\circ -)\colon \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C) \to \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal D)$ 是 $(G\circ -)\colon \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal D) \to \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C)$ 的左伴随. 另一方面, $p_!$ 是 $p^* = (-\circ p)$ 的左伴随. 由于 $(G\circ -)$ 与 $(-\circ p)$ 两个操作天然是交换的, 两者的左伴随也交换. 这便证明了命题. $\square$

全子范畴的伴随

命题. 设 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$, 有伴随 $F\dashv G$. 如下两条件等价:

  • $G$ 为全忠实函子;
  • 余单位 $FG \to\mathrm{id}_{\mathcal D}$ 为同构.

此时称 $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 为自反子范畴, 或自反局部化.

对偶地, 如下两条件等价:

  • $F$ 为全忠实函子;
  • 单位 $\mathrm{id}_{\mathcal C}\to GF$ 为同构.

证明.

由对偶性, 只需证明第一个命题. $G$ 为全忠实函子, 当且仅当 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,-)\to \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(G-,G-)$ 为同构; 由伴随, 这等价于 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,-)\to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FG-,-)$ 为同构. 由米田引理, 这等价于余单位 $FG \to\mathrm{id}_{\mathcal D}$ 为同构.

伴随链

命题. 当一列函子构成伴随链 $$ F_1 \dashv F_2 \dashv\cdots \dashv F_n $$ 时, 有伴随链 $$ F_2F_1\dashv F_2F_3\dashv F_4F_3\dashv F_4F_5\dashv\cdots. $$

命题. 考虑三元伴随 $F\dashv G \dashv H$. 如下条件等价:

  • $F$ 全忠实;
  • $F\dashv G$ 的单位 $\mathrm{id}\to GF$ 为同构;
  • $G\dashv H$ 的余单位 $GH\to\mathrm{id}$ 为同构;
  • $H$ 全忠实.

例

自由-遗忘伴随

自由-遗忘伴随

自反局部化

自反子范畴

偏序集之间的伴随

见 Galois 对应.

层与平展空间

对拓扑空间 $X$, 预层的平展空间与丛的截面层给出了一对伴随 $$ \operatorname{Presh}(X) \rightleftarrows\mathsf {Top}/X. $$ 这对伴随限制为满子范畴的等价 $$ \operatorname{Sh}(X) \rightleftarrows\mathsf {Et}(X). $$

依值和与依值积

在意象 $\mathcal C$ 中, 对任意态射 $f\colon X\to Y$ 有三元伴随 $$ \Sigma_f \dashv f^* \dashv \Pi_f. $$ 其中 $\Sigma_f,\Pi_f\colon \mathcal C_{/X} \to \mathcal C_{/Y}$ 分别为依值和与依值积的范畴语义.

特别地, 在 $Y=*$ 的绝对情形, 有三元伴随 $$ \Sigma_X \dashv X^* \dashv \Pi_X. $$ 其中 $X^*$ 表示函子 $-\times X \colon \mathcal C \to\mathcal C_{/X}$.

范畴逻辑所谓 “量词即伴随” 是上述概念的特例; 考虑 $\mathcal C_{/X}$ 的 $(-1)$-截断部分 $(\mathcal C_{/X})_{\leq -1}$, 其元素 $p$ 可理解为 $X$ 上的谓词, 而 $$ \Sigma_X p, \quad \Pi_X p $$ 是逻辑学上 $$ \exists x .p,\quad \forall x .p $$ 的范畴语义.

米田嵌入的伴随

命题. 范畴 $\mathcal C$ 余完备当且仅当米田嵌入 $\mathrm{y}\colon \mathcal C\to\mathsf{Psh}(\mathcal C)$ 有左伴随.

证明. 若 $\mathcal C$ 余完备, 则可定义 $\mathrm{y}$ 的左伴随 $L\colon \mathsf{Psh}(\mathcal C)\to\mathcal C$ 为 $\mathrm{id}_{\mathcal C}$ 的米田扩张. 另一方面, 假设左伴随 $L$ 存在, 那么由于 $L$ 保持余极限, $\mathcal C$ 中必须具有所有的余极限.