完全可对偶对象 [完全可对偶对象]

观念

幺半 $(\infty,n)$-范畴中的完全可对偶对象直观上是满足如下一系列条件的对象 $X$:

• $X$ 具有对偶 $X^\vee$ (左对偶与右对偶相同);
• $X^\vee \dashv X$ 的单位 $\eta\colon 1\to X\otimes X^\vee$ 与 $X\dashv X^\vee$ 的余单位 $\varepsilon'\colon X\otimes X^\vee\to 1$ 互为伴随, 而 $X^\vee \dashv X$ 的余单位 $\varepsilon\colon X^\vee \otimes X \to 1$ 与 $X\dashv X^\vee$ 的单位 $\eta'\colon 1\to X^\vee \otimes X$ 互为伴随;
• 这些伴随 $\eta\dashv\varepsilon'$, $\varepsilon\dashv\eta'$ 的单位和余单位又有伴随…

注意该条件随着 $n$ 的增长而变得越来越强.

定义

设 $\mathcal C$ 为对称幺半 $(\infty,n)$-范畴, 定义其完全可对偶部分 $\mathcal C^{\mathrm{fd}}$ 为满足如下条件的最大子范畴:

• 其对象具有对偶,
• 其任意阶态射具有左右伴随.

直观上, $\mathcal C^{\mathrm{fd}}$ 是 $\mathcal C$ 去掉没有对偶的对象, 以及没有伴随的各阶态射所得的范畴.

例

线性空间

线性空间范畴 $\mathsf{Vect}$ 是 $(1,1)$-范畴. $\mathsf{Vect}$ 中的完全可对偶对象就是可对偶对象, 也即有限维线性空间.

配边范畴

配边范畴 $\mathsf{Bord}_n$ 中的所有对象均完全可对偶.

• 范畴 $\mathsf{Bord}_n$ 的对象 $+$ (一个点) 的对偶为反定向的点 $-$.
• 对于 $k\geq 1$, 范畴 $\mathsf{Bord}_n$ 中任意 $k$-态射 $X\to Y$ 可视为定向 $k$ 维流形 $M$, 其边界为 $\overline{X}\sqcup_{\partial X = \partial Y} Y$.
• 对于 $1\leq k\leq n-1$, 范畴 $\mathsf{Bord}_n$ 中的 $k$-态射 $M$ 的反转 $\overline{M}$ 作为态射 $Y\to X$ 同时是 $M$ 的左右伴随.