定义
暂且给出一种直观而不严格的描述.
首先回忆流形上的切结构的概念.
- 对于整数 $0\leq m \leq n$, 定义 $m$ 维流形 $M$ 的 $n$-标架 (framing) 是 $TM \oplus \mathbb{R}^{n-m}$ 的平凡化.
- 更一般地, 对于子群 $G\subset\mathrm{GL}_n$ 或群同态 $G \to \mathrm{GL}_n$, 记 $\zeta$ 为 $\mathbf{B}G\to\mathbf{B}\mathrm{GL}_n$ 对应的 $\mathbf{B}G$ 上的 $n$ 阶向量丛; 定义 $m$-维流形 $M$ 的 $G$-结构为映射 $\chi\colon M\to\mathbf{B}G$ 以及同构 $TM\oplus \mathbb{R}^{n-m}\simeq \chi^*\zeta$.
- 注意到带边 (带角) 流形上的标架自然地诱导其边界上的标架.
定义 (粗略版本). 标架配边范畴 $\mathsf{Bord}_n^{G}$ 是如下 $(\infty,n)$-范畴:
- 其对象为带 $n$-标架的 $0$ 维流形;
- 对于 $0< k\leq n$, 其 $k$-态射 $f\colon X\to Y$ 为 $k$ 维 (带角) 流形, 满足 $\partial f = X\sqcup_{\partial X=\partial Y}Y$ (且 $f$ 的边界上的标架与 $X,Y$ 相容), 态射 $X\to Y,Y\to Z$ 的复合为沿 $Y$ 粘合;
- $n$-态射之间的映射空间为 $n$-维配边之间的同胚以及同胚之间的同痕 (isotopy) 构成的生象.
性质
配边假设
相关概念
拓扑场论