配边范畴 [配边范畴]
配边范畴 [配边范畴]
定义
切结构
首先回忆流形上的切结构的概念.
- 对于整数 $0\leq m \leq n$, 定义 $m$ 维流形 $M$ 的 $n$-标架 (framing) 是 $TM \oplus \mathbb{R}^{n-m}$ 的平凡化.
- 更一般地, 对于子群 $G\subset\mathrm{GL}_n$ 或群同态 $G \to \mathrm{GL}_n$, 记 $\zeta$ 为 $\mathbf{B}G\to\mathbf{B}\mathrm{GL}_n$ 对应的 $\mathbf{B}G$ 上的 $n$ 阶向量丛; 定义 $m$-维流形 $M$ 的 $G$-结构为映射 $\chi\colon M\to\mathbf{B}G$ 以及同构 $TM\oplus \mathbb{R}^{n-m}\simeq \chi^*\zeta$.
- 注意到带边 (带角) 流形上的标架自然地诱导其边界上的标架.
配边范畴
定义 带 $G$-结构的配边范畴 $\mathsf{Bord}_n^{G}$ 是如下 $(\infty,n)$-范畴:
- 其对象为带 $n$-标架的 $0$ 维流形;
- 对于 $0< k\leq n$, 其 $k$-态射 $f\colon X\to Y$ 为 $k$ 维 (带角) 流形, 满足 $\partial f = X\sqcup_{\partial X=\partial Y}Y$ 且 $f$ 的边界上的 $G$-结构与 $X,Y$ 相容;
- 态射 $X\to Y,Y\to Z$ 的复合为沿 $Y$ 粘合;
- $n$-态射之间的映射空间为 $n$-维配边之间的同胚以及同胚之间的同痕 (isotopy) 构成的生象.
通常 $\mathsf{Bord}_n$ 指的是 $\mathsf{Bord}_n^{\mathrm{SO}}$, 即带定向的配边范畴.
变体
配边范畴还有一些变体, 不从 $0$ 维开始, 而是从某个正维数开始. 例如 $\mathsf{Bord}_{1,2}$ 的对象为闭 $1$ 维流形 (即若干个 $S^1$). 它是 $\mathsf{Bord}_2$ 的一个态射范畴: $$ \mathsf{Bord}_{1,2} = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Bord}_2}(\varnothing,\varnothing). $$
例
一维
$\mathsf{Bord}_1^{\mathrm{fr}}$ 是如下 $(\infty,1)$-范畴:
- 其对象为带 $1$-标架的 $0$ 维流形, 也即带正负号的离散点集,
- $1$-态射 $X\to Y$ 如下.
二维
$\mathsf{Bord}_2$ 中的一个 $2$-态射如下图所示 (忽略定向).
$\mathsf{Bord}_2$ 中的另一个 $2$-态射 $S^1\to S^1\sqcup S^1$ 如下图所示.
它也是 $\mathsf{Bord}_{1,2}$ 中的 $1$-态射.
性质
自由性质
见配边假设.
可对偶性
$\mathsf{Bord}_n$ 中的所有对象均完全可对偶.
- 对象 $+$ (一个点) 的对偶为反定向的点 $-$.
- 对于 $k\geq 1$, 任意 $k$-态射 (定向 $k$ 维流形) $M$ 的反转 $\overline{M}$ 同时是 $M$ 的左右伴随.