拓扑场论 [拓扑场论]

定义

一个拓扑场论 (topological field theory) 是由某种配边范畴出发, 取值于某个对称幺半范畴 $\mathcal C$ 的幺半函子.

通常 $\mathcal C$ 是高阶线性范畴, 即线性空间范畴 $\mathsf{Vect}_k$ 的高阶类比.

例

配边假设

定义在 $\mathsf{Bord}_n$ 上的拓扑场论由一个点处的值完全决定. 见配边假设.

交换 Frobenius 代数

固定一个域 $k$. 线性空间范畴 $\mathsf{Vect}_k$ 中的 Frobenius 代数是有限维 $k$-结合代数 $A$ 带有一个非退化双线性映射 $\mathrm{tr}\colon A\to k$, 称为迹映射, 满足 $\mathrm{tr}(ab) = \mathrm{tr}(ba)$. 若 $A$ 的乘法交换, 则称之为交换 Frobenius 代数. 交换 Frobenius 代数等同于对称幺半函子 $$ \mathsf{Bord}_{1,2} \to \mathsf{Vect}, $$

  • $S^1 \mapsto A$, $\overline{S^1}\mapsto A^*$; 注意此时有同构 $\overline{S^1}\simeq S^1$, 对应 $A\simeq A^*$.
  • $\varnothing\mapsto k$.
  • “裤子” $S^1 \sqcup S^1\to S^1$ 对应乘法映射 $A\otimes A\to A$. 由几何上的观察容易看到乘法映射是结合的.
裤子
  • 乘法 $A\otimes A\to A$ 的交换性体现于下图, 注意两边的同胚保持边界不动. (特别地, 上面的两个 $S^1$ 没有交换位置!)
乘法交换
  • 圆盘 $S^1\to \varnothing$ 对应迹映射 $\mathrm{tr}\colon A\to k$.
  • “U 型管” $S^1\sqcup S^1 \to \varnothing$ 对应 $A$ 上的配对 $A\otimes A \to k$.
  • 由于 “裤子” 加盖就成了 “U 型管”, 故有恒等式 $\langle a,b\rangle = \mathrm{tr}(ab)$.
裤子加盖等于 U 型管
  • 反向的裤子 $S^1\to S^1\sqcup S^1$ 对应乘法映射的对偶, 称为余乘法 $\Delta\colon A\to A\otimes A$. 这是因为 $$ \langle \Delta(a), b\otimes c\rangle = \langle a,bc\rangle. $$
余乘法是乘法的对偶