Wiki. 结合代数 [结合代数]
Wiki. 结合代数 [结合代数]
观念
结合代数, 又叫 $\mathbb E_1$-代数, 是若干元素可以有序地结合起来的结构. 给定 $n$ 个元素的有序组 $(x_1,\cdots,x_n)$, 仅有唯一的方式将它们结合起来 $x_1\cdots x_n$, 即结合的最终结果 “与加括号的方式无关”.
在结合代数的结构之上, 可以考虑 “结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_2$-代数), “结合代数中的结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_3$-代数), …, 以至于无穷. 在无穷处, $\mathbb E_\infty$-代数就是交换代数.
定义
使用算畴
使用语法范畴
积幺半范畴
- 其对象为有限集;
- 态射 $X\to Y$ 为映射 $f\colon X\to Y$ 带有…
这个范畴也等价于有限生成自由幺半群的范畴的对偶.
一般幺半范畴
- 其对象为有限全序集 (包括空集);
- 其态射为偏序集映射;
- 幺半结构为 $$ \{a_1 < \cdots < a_n\} \otimes \{b_1 < \cdots < b_m\} = \{a_1 < \cdots < a_n < b_1 < \cdots < b_m\}. $$ 注意这个幺半结构不是对称幺半结构, 不存在自然同构 $A\otimes B\simeq B\otimes A$.
该幺半范畴的底层范畴就是增广单纯形范畴 $\Delta_+$.
对称幺半范畴
- 其对象为有限集;
- 态射 $X\to Y$ 是一个集合映射 $f\colon X\to Y$ 配备每个点的原像 $f^{-1}(y)$ 的一个全序;
- 对称幺半结构为无交并.
这个范畴是一个 PROP.