游走的伴随 [游走的伴随]

观念

游走的伴随是一个具有两个对象的 $2$-范畴 $\mathsf{Adj}$, 任何 $2$-范畴 $\mathcal C$ (例如 $\mathsf{Cat}$) 中的伴随等同于函子 $$ \mathsf{Adj} \to \mathcal C. $$ 因此这是一种游走 (“自由”) 的结构.

定义

$2$-范畴 $\mathsf{Adj}$ 有如下对象与态射:

  • 两个对象 $+,-$;
  • 两个态射 $l\colon +\to -$, $r\colon -\to +$;
  • 两个 $2$-态射 $\eta\colon \mathrm{id}_+ \to rl$; $\epsilon\colon lr\to\mathrm{id}_-$, 满足伴随的条件 (注意 $\mathsf{Adj}$ 仅为 $2$-范畴, 故这些条件是性质而非结构), 即 $$ l \overset{\eta}{\to} lrl \overset{\epsilon}{\to} l = \mathrm{id}_l,\, r \overset{\eta}{\to} rlr \overset{\epsilon}{\to} r = \mathrm{id}_r; $$
  • 以及上述资料按照条件 “自由生成” 的所有态射与 $2$-态射.

上述资料生成的结果为

  • $\operatorname{Hom}(+,+) = \{\mathrm{id}_+,rl,rlrl,\cdots\} = \Delta_+$ 为增广单纯形范畴, 其中 $\mathrm{id}_+$ 对应 $[-1]\in\Delta_+$, $rl$ 对应 $[0]\in\Delta_+$, 唯一的态射 $\mathrm{id}_+\to rl$ 对应 $[-1]\to [0]$, 也即伴随的单位;
  • $\operatorname{Hom}(+,-) = \{l,lrl,lrlrl,\cdots\}=\Delta_\bot\simeq\mathsf{LMod}([0])$ (保持最小值的映射构成的范畴, 等同于 $[0]$ 的左模范畴, 详见单纯形范畴);
  • $\operatorname{Hom}(-,+) = \{r,rlr,rlrlr,\cdots\} = \Delta_\top\simeq\mathsf{RMod}([0])$;
  • $\operatorname{Hom}(-,-) = \{\mathrm{id}_d,lr,lrlr,\cdots\} = \Delta_+^{\mathrm{op}}\simeq\mathsf{BiMod}([0])$.

故 $\mathsf{Adj}$ 为 $\Delta_+$ 的 Morita 范畴在 $[-1],[0]$ 两个对象上的全子范畴.

性质

与游走的单子的关系

注意到上述资料中 $\operatorname{Hom}(+,+) = \{\mathrm{id}_+,rl,rlrl,\cdots\} = \Delta_+$ 为增广单纯形范畴, 其中 $rl$ 为游走的结合代数, 换言之, 对象 $+$ 处的全子范畴正是游走的单子. 故任意伴随中 $rl$ 给出一个单子. 见伴随给出单子.

与自身反范畴的关系

$\mathsf{Adj}$ 到自身的反范畴 $\mathsf{Adj}^{\mathrm{op}}$ 有一个函子 $$ \Phi\colon \mathsf{Adj}\to\mathsf{Adj}^{\mathrm{op}}. $$ 其中 $\mathrm{op}$ 只反转 $1$-态射的方向, 不反转 $2$-态射. 为了避免造成困惑, 我们用撇号重新命名 $\mathsf{Adj}^{\mathrm{op}}$ 的对象, 态射和 $2$-态射:

  • 两个对象 $+',-'$;
  • 两个态射 $l'\colon -'\to +'$, $r'\colon +'\to -'$;
  • 两个 $2$-态射 $\eta'\colon \mathrm{id}_{+'} \to l'r'$, $\epsilon'\colon r'l'\to\mathrm{id}_{-'}$.

函子 $\Phi$ 的行为如下:

  • 对象 $+\mapsto +'$, $-\mapsto -'$;
  • 态射 $l\mapsto r'$, $r\mapsto l'$;
  • $2$-态射 $\eta\mapsto \eta'$, $\epsilon\mapsto\epsilon'$.

换言之, $\mathsf{Adj}^{\mathrm{op}}$ 中有一对伴随 $r'\dashv l'$. 注意这与原来的伴随 $l\dashv r$ 在名称上是相反的.

这个事实结合 $\mathsf{Adj}$ 的游走性质有如下的推论:

  • 对于 $2$-范畴 $\mathcal C$ 中的一对伴随 $f\dashv g$, 相应地有 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 中的一对伴随 $g'\dashv f'$.

与自身 $2$-反范畴的关系

$\mathsf{Adj}$ 到自身的 $2$-反范畴 $\mathsf{Adj}^{2\text{-op}}$ 有一个函子 $$ \Psi\colon \mathsf{Adj}\to\mathsf{Adj}^{2\text{-}\mathrm{op}}. $$ 我们用两撇号重新命名 $\mathsf{Adj}^{2\text{-}\mathrm{op}}$ 的对象, 态射和 $2$-态射:

  • 两个对象 $+'',-''$;
  • 两个态射 $l''\colon +''\to -''$, $r''\colon -''\to +''$;
  • 两个 $2$-态射 $\eta''\colon r''l'' \to\mathrm{id}_{+''}$, $\epsilon''\colon \mathrm{id}_{-''}\to l''r''$.

函子 $\Psi$ 的行为如下:

  • 对象 $+\mapsto -''$, $-\mapsto +''$;
  • 态射 $l\mapsto r''$, $r\mapsto l''$;
  • $2$-态射 $\eta\mapsto \epsilon''$, $\epsilon\mapsto\eta''$.

换言之, $\mathsf{Adj}^{2\text{-}\mathrm{op}}$ 中有一对伴随 $r''\dashv l''$. 注意这同样与原来的伴随 $l\dashv r$ 在名称上是相反的.

这个事实结合 $\mathsf{Adj}$ 的游走性质有如下的推论:

  • 对于 $\mathsf{Cat}$ 中的伴随 $f\dashv g$, 相应地有 $\mathsf{Cat}$ 中的另一对伴随 $g^{\mathrm{op}}\dashv f^{\mathrm{op}}$, 由如下复合给出: $$ \mathsf{Adj}\to\mathsf{Adj}^{2\text{-op}}\to\mathsf{Cat}^{2\text{-op}}\overset{(-)^{\mathrm{op}}}{\longrightarrow}\mathsf{Cat}. $$