观念
范畴 $\mathcal C$ 的 pro-对象是其对象的形式余滤极限.
对偶的概念是 ind-对象.
定义
通过可表函子的余滤极限
范畴 $\mathcal C$ 的 pro-对象的范畴
$$
\mathsf{Pro}(\mathcal C) \hookrightarrow \mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathsf{Set})^{\mathrm{op}}
$$
是可表函子在 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathsf{Set})^{\mathrm{op}}$ 中的余滤极限构成的全子范畴.
通过平坦函子
范畴 $\mathcal C$ 的 pro-对象的范畴也可定义为平坦函子 $\mathcal C\to\mathsf{Ani}$ (或 $\mathcal C\to\mathsf{Set}$) 的范畴的对偶:
$$
\mathsf{Pro}(\mathcal C) \simeq \mathsf{Flat}(\mathcal C,\mathsf{Ani})^{\mathrm{op}}.
$$
例
pro-同伦型
意象的形 (如平展同伦型) 是 pro-同伦型, 即 pro-生象.
性质
态射的计算
由米田引理, 对于 $X\in\mathsf{Pro}(\mathcal C)$ (视为函子 $\mathcal C\to\mathsf{Set}$) 与 $c\in\mathcal C$,
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Pro}(\mathcal C)}(X,\mathbf{y}(c))\simeq X(c).
$$
因此我们可以谈论 “$X$ 到 $c$ 的态射”, 也即 $X(c)$ 的元素.
由定义和 $\operatorname{Hom}$ 函子保持极限的性质, 可直接得到 pro-对象之间的态射的如下计算.
命题. 设 $X,Y\in\mathsf{Pro}(\mathcal C)$ 对应函子 $X,Y\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$.
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Pro}(\mathcal C)}(X,Y) \simeq \operatorname{lim}_{Y \to d}\operatorname{colim}_{X\to c} \operatorname{Hom}(c,d).
$$
其中, $X\to c$ 表示的是 $X$ 到对象 $c\in\mathcal C$ 的 “态射”, 也即 $X(c)$ 的元素.
具体证明见预层页面 “态射的计算” 小节.
自由余滤完备化
范畴 $\mathcal C$ 的 pro-对象的范畴 $\mathsf{Pro}(\mathcal C)$ 可视为向 $\mathcal C$ 中自由地添加余滤极限的结果. 这体现为如下的结论.
命题. 设 $\mathcal C$ 为范畴, $\mathcal D$ 是具有余滤极限的范畴, 有全忠实嵌入 $i\colon \mathcal C\to\mathcal D$, 且 $i$ 的像落在余紧对象的子范畴中. 那么 $i$ 可沿 $\mathcal C\to\mathsf{Pro}(\mathcal C)$ 右 Kan 扩张成为全忠实嵌入 $i\colon \mathsf{Pro}(\mathcal C) \to \mathcal D$; 对于 pro-对象 $X\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$,
$$
i(X) = \operatorname{lim}_{X\to c} i(c).
$$
证明.
设 $X,Y\in\mathsf{Pro}(\mathcal C)$,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Pro}(\mathcal C)}(X,Y)
&\simeq
\operatorname{lim}_{Y\to d}\operatorname{colim}_{X\to c}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,d)\\
&\simeq
\operatorname{lim}_{Y\to d}\operatorname{colim}_{X\to c}\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(i(c),i(d))\\
&\simeq^*
\operatorname{lim}_{Y\to d}\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(\operatorname{lim}_{X\to c}i(c),i(d))\\
&\simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(\operatorname{lim}_{X\to c}i(c),\operatorname{lim}_{Y\to d}i(d))\\
&\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(i(X),i(Y)).
\end{aligned}
$$
其中标记为 $\simeq^*$ 的一步使用了 $i(d)$ 的余紧性. $\square$
上述命题的一个重要应用是将 pro-有限集与 pro-有限群视为紧 Hausdorff 空间, 因为有限离散空间是紧 Hausdorff 空间范畴 $\mathsf{CHaus}$ 中的余紧对象.
有限极限范畴
设范畴 $\mathcal C$ 具有有限极限. 那么 pro-对象 (反变地) 等同于保持有限极限的函子 $\mathcal C \to \mathsf{Ani}$, 即
$$
\mathsf{Pro}(\mathcal C) \simeq \mathsf{Fun}^{\mathrm{fin.~lim.}}(\mathcal C,\mathsf{Ani})^{\mathrm{op}}.
$$