观念
概形的平展基本群是其平展意象的形的基本群.
定义
传统
参考 Milne 平展上同调讲义.
对于概形 $X$, 记 $\mathsf{FEt}_{/X}$ 为指向 $X$ 的有限平展映射的范畴. 对于几何点 $\bar x \to X$,
定义纤维函子 $F \colon \mathsf{FEt}_{/X}\to\mathsf{Set}$,
$$
F(Y\to X) := \operatorname{Hom}_X(\bar x,Y).
$$
函子 $F$ 是 pro-可表的. 记 $\widetilde {X}$ 为 $F$ 的表示 pro-对象, 定义
$$
\pi_1(X,\bar x) := \operatorname{Aut}_{\mathsf{ProFEt}_{/X}}(\widetilde {X}) = \operatorname{lim}\operatorname{Aut}_{\mathsf{FEt}_{/X}}(X_i)
$$
后一个等式来自 pro-对象的态射的计算. (todo)
性质
与主丛的关系
设 $X$ 为连通概形, $G$ 为有限群, 则 $X$ 的 $G$-系数 $1$ 阶非 Abel 平展上同调等同于 $X$ 的平展基本群到 $G$ 的同态:
$$
H^1(X_{\mathrm{\'et}},G) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{cts}}(\pi_1(X,\bar x),G).
$$
例
设基环 $k$ 为特征 $0$ 代数闭域, $\mathbb G_m$ 的有限平展覆叠为 $(-)^n\colon \mathbb G_m \to\mathbb G_m$.