观念
平坦模可视为平坦函子的特例.
定义
对于交换环 $A$ 上的模 $M$, 若 $M\otimes (-)\colon \mathsf{Mod}(A)\to\mathsf{Mod}(A)$ 左正合 (保持有限极限), 则称 $M$ 为平坦 $A$-模.
由 $\operatorname{Tor}$ 的定义, $M$ 平坦当且仅当 $\operatorname{Tor}_1(M,-) = 0$.
更一般地, 若 $A$ 为非交换环, $M$ 为 $A$ 上的右模, 当 $M\otimes_A (-)\colon \mathsf{LMod}(A)\to\mathsf{Ab}$ 保持有限极限时, 也可称 $M$ 为平坦模.
使用理想的等价定义
命题. $A$-模 $M$ 平坦当且仅当对任意理想 $I$,
$$
(I\to A)\otimes_A M = (I\otimes_A M \to M)
$$
为单射, 即
$I\otimes_A M \to IM$
为同构.
“事出有因”
平坦模有另一种等价刻画, 可以形象地总结为 “事出有因”. 其中,
- “事” 指的是 $M$ 中有一条等式 $\sum_i a_i m_i = 0$, $a_i\in A$, $m_i\in M$;
- “因” 指的是存在另一组元素 $n_j\in M$, 使得 $m_i$ 可表示为其线性组合 $m_i = \sum_j b_{ij} n_j$, 且 $\sum_i a_i b_{ij} = 0$.
这就是说, $M$ 中发生的每一件事必定可以找到 $A$ 中的原因. 用范畴论语言, 对任意有限生成自由 $A$-模 $F$ 与复合为零的两个映射
$$
(A \overset{a}{\to} F \overset{m}{\to} M) = 0,
$$
存在另一个有限生成自由 $A$-模 $E$ 使得 $m\colon F\to M$ 分解为
$$
m = (F \overset{b}{\to} E \overset{n}{\to} M),
$$
且映射在 $E$ 处就已经 “中道崩殂” 了,
$$
(A \overset{a}{\to} F \overset{b}{\to} E) = 0.
$$
证明. 记 $I$ 为 $m_i$ 生成的理想. 由前面的命题, $M$ 平坦当且仅当对任意 (有限生成) 理想 $I$,
$$
(I\to A)\otimes_A M = (I\otimes_A M \to M)
$$
为单射. 换言之, $\sum_i a_i m_i = 0$ 蕴涵
$$
\sum_i a_i \otimes m_i = 0 \in I\otimes_A M.
$$
由张量积的刻画 ($I\otimes_A M$ 是集合 $I\times M$ 生成的自由 $A$-模的商), 上式成立等价于存在另一组元素 $n_j\in M$, 使得 $m_i$ 可表示为其线性组合 $m_i = \sum_j b_{ij} n_j$, 且 $\sum_i a_i b_{ij} = 0$.
$\square$
滤余极限
命题. $A$-模 $M$ 平坦当且仅当 $M$ 是有限生成自由 $A$-模的滤余极限.
证明. 一方面, 有限生成自由模是平坦模, 平坦模的滤余极限是平坦模. 另一方面, 假设 $M$ 平坦. 考虑 $M$ 的所有有限子集的族 $F$, 在包含关系下构成滤范畴. 那么有满射
$$
\operatorname{colim}_{S\in F} A[S] \to M.
$$
我们证明该映射为单射. 注意, 遗忘函子 $\mathsf{Mod}(A)\to\mathsf{Set}$ 保持滤余极限, 故 $\operatorname{colim}_{S\in F} A[S]$ 的每个元素均来自某一个 $A[S]$. 设 $S\in F$ 为 $M$ 的任一有限子集, 取 $A[S]$ 的任意元素 $\sum a_i x_i$ ($a_i\in A, x_i\in S$). 由前面的论证, 这说明存在另一组 (有限个) 元素 $y_j\in M$, 使得 $x_i$ 可表示为其线性组合 $x_i = \sum_j b_{ij} y_j$, 且 $\sum_i a_i b_{ij} = 0$. 这说明 $\sum a_i x_i$ 在余极限 $\operatorname{colim}_{S\in F} A[S]$ 中实际上为 $0$. $\square$
性质
滤余极限
平坦模的滤余极限是平坦模. 这是因为 $\mathsf{Ab}$ 中滤余极限与有限极限交换.
基变换
若 $M$ 为平坦 $A$-模, $B$ 为 $A$-代数 (即有环同态 $A\to B$), 则 $M\otimes_A B$ 为平坦 $B$-模. 这是因为
$$
(M\otimes_A B) \otimes_B (-) \simeq M\otimes_A (-).
$$
例
命题. 对于交换环 $A$ 的乘性子集 $S$, 局部化 $S^{-1}A$ 为平坦 $A$-模, 即局部化函子 $S^{-1}\colon \mathsf{Mod}(A)\to\mathsf{Mod}(A)$ 正合.
这是因为
$$
S^{-1} A = \operatorname{colim}_{s\in S} \frac{1}{s}A
$$
是一族有限生成自由模的滤余极限.