Gestalten - 在范畴上做代数 [notes-Gestalten-Cat]

“在范畴上做代数” 指的是一种范畴化, 将交换代数等概念应用于可表现范畴的范畴 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$ (简记为 $\mathsf{Pr}$).

本文中所有的 $n$-范畴指的是 $(\infty ,n)$-范畴.

下面的定理说明, 在一个 $1$-范畴 $\mathcal C$ 中做的 “普通的代数”, 可以通过取模范畴这一操作, 嵌入到 “在范畴上做的代数”.

定理. 对于可表现的对称幺半范畴 $\mathcal C\in\mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr})$, 有全忠实函子 $$ \mathsf{Mod}_{\mathcal C}(-)\colon \mathsf{CAlg}(\mathcal C) \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathcal C)), $$ 且其有右伴随 $\mathcal D\mapsto \operatorname{End}_{\mathcal D}(1)$.

回忆, 对于 $\mathcal D\in\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathcal C)$, 有函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,-)\colon \mathcal D^{\mathrm{op}}\times\mathcal D \to\mathcal C$, 满足 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Y,Z))\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(X\otimes Y,Z); $$ 也即 $\operatorname{Hom}(Y,-)\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 是 $(-)\otimes Y\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 的右伴随 (注意 $(-)\otimes Y\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 保持余极限). 这就是说, $\mathsf{Pr}$ 中的 $\mathcal C$-模可视为 $\mathcal C$-充实范畴.

对于 $\mathcal D\in\mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathcal C))$, 记 $1\in\mathcal D$ 为其单位, $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 为函子 $(-)\otimes 1$; 则 $$ \operatorname{End}_{\mathcal D}(1) := \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(1,1) = F^R (1), $$ 其中 $F^R$ 为 $F$ 的右伴随; 因而 $\operatorname{End}_{\mathcal D}(1)$ 继承 $1$ 的交换代数结构. 这给出了上述定理中的函子 $\mathcal D\mapsto \operatorname{End}_{\mathcal D}(1)$.

由于 $\mathsf{Mod}_{\mathcal C}(-)$ 有右伴随, 其保持所有余极限; 特别地, 保持交换代数的相对张量积: $$ \mathsf{Mod}(A)\otimes_{\mathsf{Mod}(C)}\mathsf{Mod}(B) \simeq\mathsf{Mod}(A\otimes_C B). $$ 换言之, 在范畴层面可以忠实地复刻代数的张量积这一关键操作.

在上述定理中取 $\mathcal C = \mathsf{Pr}$ ¹, 我们得到一个函子 $$ \mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(-) \colon \mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr}) \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathsf{Pr})). $$ 我们称 $\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathsf{Pr})$ 为 $2\mathsf{Pr}$, 即 “可表现 $2$-范畴” 的范畴. ² 可表现 $2$-范畴是 “充实于 $\mathsf{Pr}$ 的可表现范畴”.

再取 $\mathcal C = 2\mathsf{Pr}$, 得到函子 $$ \mathsf{Mod}_{2\mathsf{Pr}}(-) \colon \mathsf{CAlg}(2\mathsf{Pr}) \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(2\mathsf{Pr})). $$ 定义 $\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(2\mathsf{Pr})$ 为 $3\mathsf{Pr}$, 这个过程可以重复下去, 定义 “可表现 $n$-范畴的范畴” $n\mathsf{Pr} \in \mathsf{Pr}$. 可表现 $n$-范畴是 “充实于 $(n-1)\mathsf{Pr}$ 的可表现范畴”.

我们看数学实践中常用的一个代数语境, 即 $\mathbb E_\infty$-环谱, 是如何置入上述范畴代数当中的. 记 $\mathcal C$ 为 $\mathbb E_\infty$-环谱 (又称 $\mathbb E_\infty$-$\mathbb S$-代数) 的范畴的对偶. 记 $\mathcal C$ 的对象为 $\operatorname{Spec}A$, 想象为 “仿射概形”.

对于 $\mathbb E_\infty$-环谱 $A$, 归纳定义

• $0\mathsf{Pr}_A := \mathsf{Mod}(A)$,
• $(n+1)\mathsf{Pr}_A := \mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}} (n\mathsf{Pr}_A)$;