观念
可表现范畴 $\mathcal C$ 是一个可能很大的范畴, 却能由较小的一族对象 $\mathcal S\hookrightarrow\mathcal C$ 控制.
此时, $\mathcal C$ 可表现为预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal S)$ 的局部化.
范畴论中的许多结论依赖于范畴的可表现性, 例如伴随函子定理, 以及刻画意象的 Giraud 公理.
另一种重要的观点: 从范畴逻辑学的角度, 可表现范畴是本质代数理论的模型的范畴.
定义
对于正则基数 $\kappa$ (通常取为 $\aleph_0$, 见紧生成范畴), 称满足如下等价条件的范畴 $\mathcal C$ 为 $\kappa$-可表现范畴:
称 $\mathcal C$ 为可表现范畴是指存在一个基数 $\kappa$, $\mathcal C$ 为 $\kappa$-可表现范畴.
等价的定义是: 有一个小范畴到 $\mathcal C$ 的函子 $j\colon \mathcal S\hookrightarrow\mathcal C$, 使得米田扩张 $\mathsf{Psh}(\mathcal S) \to \mathcal C$ 是预层范畴 $\mathsf{Psh}(\mathcal S)$ 关于某个小态射族 $W \subset \mathsf{Fun}([1],\mathsf{Psh}(\mathcal S))$ 的局部化.
可表现范畴以及保持余极限的函子构成的范畴记为 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$, 其中 $\mathrm{L}$ 的含义是这些函子是左伴随 (伴随函子定理).
性质
由景表现的意象是可表现范畴.
张量积
可表现范畴的范畴 $\mathsf{Pr}$ 上有一个对称幺半范畴结构, 称为 Lurie 张量积.
命题-定义. 对于可表现范畴 $\mathcal C,\mathcal D$, 存在万有的可表现范畴 $\mathcal C\otimes\mathcal D$, 带有一个双线性 (即保持每个分量的余极限) 的函子
$$
\mathcal C\times \mathcal D \to \mathcal C\otimes\mathcal D.
$$
可表现范畴的张量积的单位是 $\mathsf{Ani}$.
高阶可表现范畴
见高阶可表现范畴